[論文レビュー] Approximating Semi-Matchings in Streaming and in Two-Party Communication

Christian Konrad, Adi Rosén|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、二部グラフにおける準マッチングの近似について、決定的ストリーミングおよび二者間通信アルゴリズムを提示する。1パスで Õ(n^{1+ε}) のメモリを用いて O(n^{(1−ε)/2})-近似を達成し、O(log n) パスと Õ(n) のメモリを用いて O(log n)-近似を達成する。また、最適な準マッチングを最大マッチングへの階層的分解として構造化することで、近似の上限を改善し、準マッチング理論と古典的マッチング理論を結びつける。

ABSTRACT

We study the communication complexity and streaming complexity of approximating unweighted semi-matchings. A semi-matching in a bipartite graph G = (A, B, E), with n = |A|, is a subset of edges S that matches all A vertices to B vertices with the goal usually being to do this as fairly as possible. While the term 'semi-matching' was coined in 2003 by Harvey et al. [WADS 2003], the problem had already previously been studied in the scheduling literature under different names. We present a deterministic one-pass streaming algorithm that for any 0 <= ε<= 1 uses space O(n^{1+ε}) and computes an O(n^{(1-ε)/2})-approximation to the semi-matching problem. Furthermore, with O(log n) passes it is possible to compute an O(log n)-approximation with space O(n). In the one-way two-party communication setting, we show that for every ε> 0, deterministic communication protocols for computing an O(n^{1/((1+ε)c + 1)})-approximation require a message of size more than cn bits. We present two deterministic protocols communicating n and 2n edges that compute an O(sqrt(n)) and an O(n^{1/3})-approximation respectively. Finally, we improve on results of Harvey et al. [Journal of Algorithms 2006] and prove new links between semi-matchings and matchings. While it was known that an optimal semi-matching contains a maximum matching, we show that there is a hierarchical decomposition of an optimal semi-matching into maximum matchings. A similar result holds for semi-matchings that do not admit length-two degree-minimizing paths.

研究の動機と目的

• サブ線形メモリを用いて、二部グラフにおける準マッチングを近似する空間効率の良いストリーミングアルゴリズムの設計。
• 1パス2者間モデルにおける準マッチング近似の計算の通信複雑度の分析。
• 最適な準マッチングの構造的性質を示すことで、それらが最大マッチングへの階層的分解を許容することを確立する。
• 次数最小化パスとパスの反転技術を活用することで、準マッチング問題の近似保証を向上させる。
• 最適な準マッチングと特定の非退化準マッチングが最大マッチングの列に分解可能であることを示すことで、準マッチング理論と古典的マッチング理論を結びつける。

提案手法

• 長さ2の次数最小化パスを避ける半マッチング S を維持する1パスストリーミングアルゴリズムを用い、近似のための構造的安定性を保証する。
• A側の頂点に対して再帰的分割戦略を適用し、最適値に対して相対的に有界な最大次数を持つ部分集合を繰り返し分離する。
• 任意の半マッチング S を頂点次数に基づいて d 個のマッチング M₁,…,M_d に分解する手法を用い、マッチング理論による解析を可能にする。
• 半マッチング S が長さ2の次数最小化パスを含まない場合、そのようなパスを含まない頂点の定数割合を分離でき、それらが誘導する部分グラフにおける S における次数はすべて d* 以下であることを示す。
• 頂点集合 A_i と半マッチング S_i の再帰的構成を用い、各 S_i は A_i × B に制限され、長さ2の次数最小化パスを避ける。
• このような再帰的ステップの数が O(log n) で有界であることを証明し、最適半マッチングに対する対数的近似要因が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パスストリーミングアルゴリズムにおける、メモリ使用量と近似比のトレードオフは何か？
• RQ2 1パス2者間モデルにおいて、非自明な準マッチング近似を計算するために必要な通信量はどの程度か？
• RQ3 最適な準マッチングは最大マッチングへの階層的分解を許容するか？ その構造的含意は何か？
• RQ4 2者間モデルにおいて o(n) の通信量で達成可能な最良の近似要因は何か？
• RQ5 次数最小化パスは最適な準マッチングの構造とどのように関係するか？ また、近似アルゴリズムの改善に利用可能か？

主な発見

• 任意の ε ∈ [0,1] に対して、Õ(n^{1+ε}) のメモリを用いて1パスで O(n^{(1−ε)/2})-近似を達成する決定的ストリーミングアルゴリズムが構築可能である。
• O(log n) パスを用いることで、僅か Õ(n) のメモリで O(log n)-近似を計算可能であり、空間効率が顕著に向上する。
• 1パス2者間通信モデルにおいて、任意の決定的プロトコルが O(n^{1/((1+ε)c+1)})-近似を達成するには、cn ビットを超える通信が必要である。
• 2つの決定的プロトコルを提示する：1つは n 條のエッジを送信して O(√n)-近似を達成し、もう1つは 2n 條のエッジを送信して O(n^{1/3})-近似を達成する。
• 最適な半マッチングは最大マッチングの列に階層的に分解可能であり、長さ2の次数最小化パスを含まない準マッチングに対しても同様の性質が成り立つ。
• 長さ2の次数最小化パスを含まない任意の半マッチングの最大次数は、最適半マッチングの最大次数の ⌈log(n+1)⌉ 倍以下である。