[論文レビュー] Approximation by Lipschitz, analytic maps on certain Banach spaces

R. Fry, L. Keener|ArXiv.org|Oct 31, 2008

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分離多項式を備えた可分バナッハ空間において、有界な開集合上の任意の有界で一様連続な実数値関数が、一様にリプシッツ的で実解析的関数によって一様近似可能であることを確立する。この手法は、空間の複素化における分割関数に類似した構造を用いた解析関数の重み付き平均を通じて、このような近似関数を構成する。これにより、解析性と一様リプシッツ連続性の両方が保証され、近似誤差は対象関数の一様連続性によって制御される。

ABSTRACT

We show that on separable Banach spaces admitting a separating polynomial, any uniformly continuous, bounded, real-valued function can be uniformly approximated by Lipschitz, analytic maps on bounded sets.

研究の動機と目的

• リプシッツ連続な解析的写像へのカールツァイルの定理の解析的近似への拡張を図ること。
• 無限次元バナッハ空間におけるリプシッツ関数による解析的近似に関する結果の不足を補うこと。
• $C^p$-滑らか近似と解析的近似の間のギャップを、リプシッツ制御を組み込むことで埋めること。
• 一般の有界で一様連続関数を、解析的かつリプシッツ関数を用いて、有界集合上で構成的かつ一様に近似する方法を提供すること。

提案手法

• 可分バナッハ空間 $ X $ 上で、一様にリプシッツ的で実解析的な関数列 $ u_j(x) $ を、可算な稠密集合 $ \{x_j\} $ と分割関数に類似した構造を用いて構成する。
• 重み付き平均 $ K(x) = \frac{\lambda(\{F(x_j)u_j(x)\})}{\lambda(\{u_j(x)\})} $ を定義し、$ \ell^\infty $ 上のノルムに類似した関数 $ \lambda $ を用いることで、解析性とリプシッツ連続性を保証する。
• 複素化 $ \widetilde{X} $ を用いて実解析的関数を拡張し、べき級数展開の収束を保証する。
• 関数 $ F $ の一様連続性と $ \{C_j^3\} $ の被覆性を活用して、近似誤差を一様に抑え込む。
• $ \lambda(\{u_j(x)\}) \geq 4/5 $ が $ G $ 上で一様に成り立つことを示し、分母がゼロから離れていることを保証する。
• $ \lambda $ の 1-リプシッツ性と $ u_j $ の一様リプシッツ性を用いて、$ G $ 上での $ K $ のリプシッツ性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分バナッハ空間に分離多項式を備える場合、有界な開集合上の有界で一様連続な関数は、一様にリプシッツ的解析的写像によって近似可能か？
• RQ2 無限次元空間において $ C^\infty $-近似が失敗する状況でも、一様リプシッツ制御を伴う解析的近似が可能か？
• RQ3 一般関数の解析的近似関数の構成を、グローバルな滑らかさを要件とせず、一様連続性の制約のもとで安定化できるか？
• RQ4 バナッハ空間の複素化は、近似関数の解析性を保証するためにどのように利用可能か？
• RQ5 空間および関数にどのような条件を課えると、近似関数が解析的かつリプシッツ的の両方を満たすか？

主な発見

• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ G \to \mathbb{R} $ への実解析的関数 $ K $ が存在し、$ G $ 上でリプシッツ的であり、すべての $ x \in G $ に対して $ |F(x) - K(x)| < \varepsilon $ を満たす。
• 近似関数 $ K $ は、解析関数の列に $ \lambda $-汎関数を適用した二つの比として構成され、解析性とリプシッツ連続性の両方が保証される。
• 分母 $ \lambda(\{u_j(x)\}) $ は一様に $ 4/5 $ 以上に保たれ、ゼロ割れを防ぎ、構成の安定性を確保する。
• 近似誤差は関数 $ F $ の一様連続性によって制御され、$ \varepsilon $-境界は $ \{C_j^3\} $ の被覆性と $ u_j(x) $ の $ \delta $-近傍外での減衰性から導かれる。
• この手法は、$ \ell^p $ および $ L^p $（偶数の整数 $ p $）や、可算コンパクトな $ K $ を備える $ c_0 $ を含む、分離多項式を備えるすべての可分バナッハ空間に適用可能である。
• これは、無限次元バナッハ空間において、一般関数（ノルムに限らない）をリプシッツ的解析的写像で一様近似する、初めての知られている結果である。