[論文レビュー] Approximation of martingale couplings on the line in the weak adapted topology

Mathias Beiglböck, Benjamin Jourdain+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数直線上のマルティングルールカップリングが適応的弱位相において安定であることを確立し、凸順序における周辺分布の小さな摂動が、それに応じるマルティングルールカップリングの小さな摂動をもたらすことを証明する。主な貢献は、適応的 Wasserstein 距離に関する新しい安定性結果に依拠した、古典的カップリング安定性のマルティングルール最適輸送における類似物の厳密な証明であり、ロバストファイナンスおよび最適 Skorokhod埋め込みに応用を持つ。

ABSTRACT

Our main result is to establish stability of martingale couplings: suppose that $\\pi$ is a martingale coupling with marginals $\\mu, \ u$. Then, given approximating marginal measures $\ ilde \\mu \\approx \\mu, \ ilde \ u\\approx \ u$ in convex order, we show that there exists an approximating martingale coupling $\ ilde\\pi \\approx \\pi$ with marginals $\ ilde \\mu, \ ilde \ u$. In mathematical finance, prices of European call / put option yield information on the marginal measures of the arbitrage free pricing measures. The above result asserts that small variations of call / put prices lead only to small variations on the level of arbitrage free pricing measures. While these facts have been anticipated for some time, the actual proof requires somewhat intricate stability results for the adapted Wasserstein distance. Notably the result has consequences for a several related problems. Specifically, it is relevant for numerical approximations, it leads to a new proof of the monotonicity principle of martingale optimal transport and it implies stability of weak martingale optimal transport as well as optimal Skorokhod embedding. On the mathematical finance side this yields continuity of the robust pricing problem for exotic options and VIX options with respect to market data. These applications will be detailed in two companion papers.

研究の動機と目的

• 周辺分布の弱収束におけるマルティングルール最適輸送における基礎的ギャップを埋めるために、マルティングルールカップリングの安定性を確立すること。
• 標準的最適輸送カップリングの古典的安定性結果に対する、マルティングルール輸送における類似結果を提供すること。
• 特異的および VIX オプションのモデルに依存しないプライシングにおける、ロバストな数値近似および安定性解析を可能にすること。
• 古典的輸送における循環的単調性に類似した、弱マルティングルール最適輸送における単調性原理の開発を支援すること。
• 適応的 Wasserstein 安定性を用いて、最適 Skorokhod埋め込みおよび弱マルティングルール最適輸送の理論的枠組みを拡張すること。

提案手法

• 適応的弱位相におけるマルティングルールカップリングの収束を測るための主要指標として、適応的 Wasserstein 距離 (AW1) を用いる。
• 摂動された周辺分布と条件付き分解および正則化技術を組み合わせることで、近似マルティングルールカップリングを構築する。
• コンパクトに台を持つ近似列と切断の議論を用いて、非有界領域におけるカップリングの振る舞いを制御する。
• パrameter ε を用いた摂動議論により、元のカップリング π と正則化されたバージョン π^{R,α} の間のバランスをとらせ、AW1 距離での収束を保証する。
• 接着補題と三角不等式を用いて、近似カップリングとターゲットカップリング間の適応的 Wasserstein 距離を上界で抑え込む。
• 摂動された周辺分布間のマルティングルールカップリングの存在を保証するため、凸順序条件 ν^{R,α} ≤_c ν を用い、[37] の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送カップリングの古典的安定性結果は、実数直線上のマルティングルール設定に拡張可能か？
• RQ2 マルティングルールカップリングの周辺分布における小さな摂動は、適応的弱位相においてカップリング自体の小さな摂動を引き起こすか？
• RQ3 マルティングルール制約を保ったまま、周辺分布の摂動に対して適応的 Wasserstein 距離は安定か？
• RQ4 適応的 Wasserstein 距離の安定性特性から、マルティングルール最適輸送における単調性原理を導出可能か？
• RQ5 この安定性の結果が、数学的ファイナンスにおける特異的および VIX オプションのロバストプライシングに与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、周辺分布が μ, ν である任意のマルティングルールカップリング π と、凸順序で μ^k → μ、ν^k → ν となる任意の列 μ^k, ν^k に対して、π^k ∈ Π_M(μ^k, ν^k) であるマルティングルールカップリングの列 π^k が存在し、π^k → π が適応的弱位相で成り立つことを証明する。
• 収束は適応的 Wasserstein 距離により定量的に評価され、k → ∞ のとき AW1(π^k, π) → 0 となる。これは、周辺分布の弱収束における安定性を確立する。
• この結果は、オプションプライシングにおけるアービタージ・フリーな価格測度の集合が、市場データ（オプション価格、反映される周辺測度）の小さな変化に対して連続的であることを示唆する。
• 安定性結果により、マルティングルール最適輸送における単調性原理の新たな証明が可能となり、古典的輸送における循環的単調性に類似する。
• 本手法により、周辺分布が摂動された場合でも、切断、正則化、接着技術の組み合わせによって近似マルティングルールカップリングの存在が保証される。
• Brückerhoff と Juillet が示すように、この結果は次元が高次になると成立しないため、マルティングルール最適輸送において、1次元設定の特別な役割が浮き彫りになる。