[論文レビュー] Approximation properties of simple Lie groups made discrete

Søren Knudby, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、離散位相を備えた連結単純リー群に対して、Haagerup性、弱アーベル性、弱Haagerup性の同値性を確立する。主な結果は、このような群において、3つの近似性質がすべて同値であり、弱アーベル性定数が正確に1に等しいことである。これは、GL(2,K) が任意の体 K に対して弱アーベル性定数1で弱アーベル的であることを示す証明を通じて、連続の場合に知られている結果を離散設定に拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we consider the class of connected simple Lie groups equipped with the discrete topology. We show that within this class of groups the following approximation properties are equivalent: (1) the Haagerup property; (2) weak amenability; (3) the weak Haagerup property. In order to obtain the above result we prove that the discrete group GL(2,K) is weakly amenable with constant 1 for any field K.

研究の動機と目的

• 連結単純リー群に離散位相を導入した場合の近似性質（Haagerup性、弱アーベル性、弱Haagerup性）を調査すること。
• 連続の場合に既知の同値性が離散設定でも成り立つかどうかを明らかにすること。
• 任意の体 K に対して GL(2,K) が弱アーベル性定数1で弱アーベル的であることを証明し、基礎的結果を得ること。
• 連続リー群における近似性質の分類結果を、それらの離散版に拡張すること。
• 離散群における弱アーベル性とHaagerup性の関係について未解決の問題を解消すること。

提案手法

• 著者たちは、連結単純リー群に離散位相を導入し、代数的構造を保ったまま離散群として扱う。
• 実ランク 0 および 1 の単純リー群の分類を用いて、問題を有限個のケースに還元する。
• Iwasawa分解や普遍被覆群などのリー理論の結果を用い、関係する群の中心および基本群を分析する。
• 弱アーベル性定数が有限被覆の下で保存されることを用い、 Herz-Schur乗数および作用素ノルム B2ノルムに関する既知の結果を適用する。
• より小さな群（例：SU(3), SO(5)）の包含関係を用いて、問題を最小限のケースに還元する。
• 任意の体 K に対して GL(2,K) が弱アーベル性定数1で弱アーベル的であることを、表現論的および組合せ論的技法を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散単純リー群において、Haagerup性は弱アーベル性定数1を含意するか？
• RQ2 離散連結単純リー群において、弱Haagerup性と弱アーベル性は同値か？
• RQ3 任意の体 K に対して GL(2,K) の弱アーベル性定数は 1 に等しいか？ そしてこれはより広範な構造的帰結をもたらすか？
• RQ4 単純リー群の離散版は、その連続版の近似性質を継承するか？
• RQ5 連続の場合に成り立つ近似性質の同値性は、離散位相に拡張可能か？

主な発見

• 任意の連結単純リー群 G に対して、離散位相を備えた群 Gd について、Haagerup性、弱アーベル性、弱Haagerup性はすべて同値である。
• このような群すべてについて、弱アーベル性定数 ΛWA(Gd) は正確に 1 に等しく、したがって弱Haagerup定数 ΛWH(Gd) に対しても 1 に等しい。
• 任意の体 K に対して GL(2,K) は弱アーベル性定数1で弱アーベル的である。これは本論文のあらゆる場面で用いられる重要な技術的結果である。
• n≥2 に対して SU(1,n) の離散普遍被覆群は、弱アーベル性定数1で弱アーベル的であるが、弱Haagerup性を有さない。
• 実ランク 0 の群（コンパクト単純リー群）については、離散群 Gd は SU(2) に同型でない限り弱Haagerup性を有さない。これは仮定により除外されている。
• 3つの性質の同値性は、G がコンパクトであるか、または SO₀(1,n)、SU(1,n)、Sp(1,n)、F₄(−20) に局所同型であるか、または SU(1,n) の普遍被覆群に同型である場合にのみ成立する。