[論文レビュー] Permanence properties of property A and coarse embeddability for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakto第二可換（l.c.s.c.）群における性質Aおよび粗埋め込みの永続性に関する性質を確立し、ラティス、共アメニタリィ部分群、正規拡大、測度同値性などのさまざまな条件下で、閉部分群から上位群へと性質が持ち上がる仕組みを示している。主な貢献は、適切な幾何学的・動的条件の下で、性質Aまたは粗埋め込みを有する部分群が存在する場合に、その上位群が同じ性質を有することを示す、一般化された枠組み（適切なコサイクルとペアの性質Aを用いる）の構築である。

ABSTRACT

If $H$ is a lattice in a locally compact second countable group $G$, then we show that $G$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space) if and only if $H$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space). Moreover, we show three interesting generalizations of this result. If $H$ is a closed subgroup of $G$ that is co-amenable in $G$, and if $H$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space), then we show that $G$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space). We also show that an extension of property A groups still has property A. On the coarse embeddability side, we show that if $\{e\} ightarrow H ightarrow G ightarrow Q ightarrow\{e\}$ is a short exact sequence, and if either $H$ is coarsely embeddable into Hilbert space and $Q$ has property A, or $H$ is compact and $Q$ is coarsely embeddable into Hilbert space, then $G$ is coarsely embeddable into Hilbert space. We extend the theory of measure equivalence to locally compact non-unimodular groups. In a natural way, we can also define measure equivalence subgroups. We show that property A and uniform embeddability into Hilbert space pass to measure equivalence subgroups. Using the same techniques, we show that also the Haagerup property, weak amenability and the weak Haagerup property pass to measure equivalence subgroups.

研究の動機と目的

• 閉部分群からより大きな局所コンパクト第二可換（l.c.s.c.）群への性質Aおよび粗埋め込みの永続性結果を拡張すること。
• 離散群に対する既知の結果を、特にラティスと共アメニタリィ部分群に注目して、l.c.s.c. 群の設定へ一般化すること。
• さまざまな群論的拡大における永続性を示すための統一的枠組みを、適切なコサイクルとペアの性質Aを用いて構築すること。
• 非ユニモジュラー l.c.s.c. 群への測度同値性の一般化を行い、性質A、粗埋め込み、および関連する性質（Haagerup性、弱アメニタリティ）が測度同値性のもとで保存されることを示すこと。
• 係数付きアセンブリーマップのスプリット単射性と関連づけることで、 Baum-Connes予想への帰結を確立すること。

提案手法

• JolissaintのHaagerup性に関する研究にインspiredされ、標準確率空間におけるBorel集合族に関する一般化された適切なコサイクルの概念を導入する。
• 群Gが標準確率空間Xに非正則に作用するときのペア(G, X)に対する性質Aを定義し、位相的アメニタリティの概念を一般化する。
• 部分群H上の核k₀を用いて、Koopman表現を介してX上での積分により、k: G × G → ℂ への正定値核を構成する。
• コサイクルの恒等式と適切性を用いて、核kの台と減衰を制御し、性質Aまたは粗埋め込みを満たす条件を満たすように保証する。
• 集合{g⁻¹h : |k(g,h)| > δ}のprecompact性が構成の過程で保存されることを活用し、これは粗埋め込みにとって重要である。
• 一般定理を用いて、ラティス、共アメニタリィ部分群、正規拡大、測度同値性といった具体的なケースに枠組みを適用し、永続性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉部分群H ⊂ Gが性質Aまたは粗埋め込みを有するとき、上位群Gに対しても同様の性質が成立するための条件は何か？
• RQ2 離散群に対する永続性結果を、局所コンパクト第二可換群の設定へ拡張できるか？
• RQ3 測度同値性を非ユニモジュラー l.c.s.c. 群へ一般化できるか？ また、そのような同値性のもとでどの解析的性質が保存されるか？
• RQ4 適切なコサイクルとペアの性質Aが、l.c.s.c. 群における解析的性質の永続性を示す統一的枠組みとしてどれほど有効か？
• RQ5 ある集合族に関して適切なコサイクルが存在する場合、その部分群から全体群へ性質Aまたは粗埋め込みが移行可能か？

主な発見

• H ⊂ G が l.c.s.c. 群Gにおけるラティスであるとき、Gが性質A（それぞれ粗埋め込み可能）であるための必要十分条件は、Hが性質A（それぞれ粗埋め込み可能）であることである。
• H ⊂ G が閉かつ共アメニタリィ部分群であり、Hが性質A（それぞれ粗埋め込み可能）であるならば、Gに対しても同様に性質A（それぞれ粗埋め込み可能）が成り立つ。
• GがHを正規部分群として持ち、Qが性質Aを有する、またはHがコンパクトでQが粗埋め込み可能であるような拡大であるとき、Gはヒルベルト空間に粗埋め込み可能である。
• l.c.s.c. 群において、性質Aおよび粗埋め込みは測度同値性のもとで保存され、従来の結果を非ユニモジュラー設定へ拡張する。
• Haagerup性、弱アメニタリティ、および弱Haagerup性も、l.c.s.c. 群における測度同値性のもとで保存される。
• 確率空間上での積分により定義される核k: G × G → ℂ の構成により、性質Aまたは粗埋め込みに必要な減衰および台の条件が、部分群から引き継がれる。