[論文レビュー] Approximations of Mckean-Vlasov SDEs with Irregular Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、不規則な係数を有する McKean-Vlasov SDE にオイラー＝マルヤム方程式を適用する際の強収束率を、弱く相互作用する粒子系を用いて確立する。 Hölder連続性を持つ拡散係数に対しては Yamada-Watanabe 近似を、Hölder連続性を持つ摂動項に対しては Zvonkin の変換を組み合わせることで、最小限の正則性仮定のもとで混沌乱の伝播を証明し、収束率を導出する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to approximate several kinds of {\it Mckean-Vlasov SDEs} with {\it irregular coefficients} via weakly interacting particle systems. More precisely, propagation of chaos and convergence rate of Euler-Maruyama scheme associated with the consequent weakly interacting particle systems are investigated for Mckean-Vlasov SDEs, where (i) the diffusion terms are Hölder continuous by taking advantage of Yamada-Watanabe's approximation approach and (ii) the drifts are Hölder continuous by freezing distributions followed by invoking Zvonkin's transformation trick.

研究の動機と目的

• 不規則な係数を有する McKean-Vlasov SDE の数値近似に対して、強収束結果が不足しているという問題に取り組む。
• 弱く相互作用する粒子系の文脈において、オイラー＝マルヤム方程式の収束率を確立する。
• 標準的な SDE に対して開発された数値解析技法を、分布に依存する係数を有する平均場設定に拡張する。
• 高度な解析的ツール（Yamada-Watanabe 近似および Zvonkin の変換）を用いて、不規則な摂動項および拡散係数を扱う。
• 最小限の正則性条件のもとで混沌乱の伝播を証明し、明示的な収束率を導出する。

提案手法

• McKean-Vlasov SDE における Hölder連続性を持つ拡散係数を扱うために、Yamada-Watanabe の近似アプローチを適用する。
• Hölder連続性を持つ摂動項を扱うために、Zvonkin の変換トリックを用い、SDE をより正則な形に変換する。
• 弱く相互作用する粒子系を構築し、McKean-Vlasov SDE の分布に依存するダイナミクスを近似する。
• 粒子系にオイラー＝マルヤム方程式を適用し、McKean-Vlasov SDE を数値的にシミュレートする。
• カップリングの議論とモーメント推定を用いて収束を確立し、BDG の不等式および Hölder の不等式を活用する。
• Gronwall の不等式を用いて、粒子系と真の解との間の誤差を制御し、分布的誤差およびパスワイズ誤差の推定値を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な係数を有する McKean-Vlasov SDE に対して、オイラー＝マルヤム方程式の強収束率は何か？
• RQ2 弱く相互作用する粒子系を用いて、不規則な摂動項および拡散係数を有する McKean-Vlasov SDE を近似する際、混沌乱の伝播はどのように確立できるか？
• RQ3 Yamada-Watanabe 近似と Zvonkin の変換を組み合わせることで、平均場設定における不規則な係数を効果的に取り扱えるか？
• RQ4 離散化および経験的測度近似が、数値スキームの収束率に与える影響は何か？
• RQ5 摂動項および拡散係数の正則性仮定が、粒子系の収束行動に与える影響は何か？

主な発見

• 弱く相互作用する粒子系にオイラー＝マルヤム方程式を適用することで、Hölder連続性を持つ拡散係数を有する McKean-Vlasov SDE に対して強収束が達成される。この場合、Yamada-Watanabe 近似が用いられる。
• Hölder連続性を持つ摂動項に対しては、Zvonkin の変換により、不規則性が存在する中でも収束率の導出が可能である。
• 本論文では、粒子数 $ N $ および時間刻み $ au $ に依存する収束率を有する混沌乱の伝播を確立し、$ eta \neq 1 $ の場合に $ \tau^{\frac{\beta}{2}} $ の明示的依存性を示す。
• 与えられた Hölder 連続性仮定のもとで、粒子系から真の McKean-Vlasov 解への収束率は $ \tau^{\frac{\beta}{2}} $ として定量的に評価される。ここで $ \beta \neq 1 $ である。
• 粒子系と真の解との間の誤差は、$ \bE\big[\big(\textstyle\frac{1}{N}\textstyle\frac{1}{N}\big)\big] $ の形のモーメント推定を満たし、$ \tau $ および $ N $ に明示的な依存性を示す。
• 解析により、収束率が最小限の正則性仮定のもとでも保持されることを確認し、Gronwall の不等式およびモーメント推定を用いて主要な誤差項が制御されることを示した。