[論文レビュー] Antithetic multilevel particle system sampling method for McKean-Vlasov SDEs

Łukasz Szpruch, Alvin Tse|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、McKean-Vlasov SDEにおける確率測度の非線形関数的量のためのアンチシティブラ・マルチレベル・モンテカルロ（A-MLMC）推定器を提案する。独立同一分布に従う標本と相互作用粒子系を用いる。滑らかさの弱い仮定のもとで次元に依存しない収束速度と鋭い平均二乗誤差の上限を達成し、一様な強い混沌の伝播と$L^2$アンチシティブラ差分推定を確立する。

ABSTRACT

Let $μ\in \mathcal{P}_2(\mathbb R^d)$, where $\mathcal{P}_2(\mathbb R^d)$ denotes the space of square integrable probability measures, and consider a Borel-measurable function $Φ:\mathcal P_2(\mathbb R^d) ightarrow \mathbb R $. IIn this paper we develop Antithetic Monte Carlo estimator (A-MLMC) for $Φ(μ)$, which achieves sharp error bound under mild regularity assumptions. The estimator takes as input the empirical laws $μ^N = \frac1N \sum_{i=1}^{N}δ_{X_i}$, where a) $(X_i)_{i=1}^N$ is a sequence of i.i.d samples from $μ$ or b) $(X_i)_{i=1}^N$ is a system of interacting particles (diffusions) corresponding to a McKean-Vlasov stochastic differential equation (McKV-SDE). Each case requires a separate analysis. For a mean-field particle system, we also consider the empirical law induced by its Euler discretisation which gives a fully implementable algorithm. As by-products of our analysis, we establish a dimension-independent rate of uniform extit{strong propagation of chaos}, as well as an $L^2$ estimate of the antithetic difference for i.i.d. random variables corresponding to general functionals defined on the space of probability measures.

研究の動機と目的

• 確率測度$\mu \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$の非線形関数的量$\Phi(\mu)$のための効率的なモンテカルロ推定器の開発。ここで$\mu$は独立同一分布に従う標本または平均場粒子系である。
• 非線形関数的量$\Phi$に対して、$\Phi(\mu^N)$の推定器に内在するバイアスを解消するため、アンチシティブラサンプリングを組み合わせたマルチレベルフレームワークを構築する。
• 関数的$\Phi$に関する弱い正則性条件のもとで、次元に依存しない鋭い平均二乗誤差の上限を達成する。
• 相互作用拡散過程に対して、次元に依存しない一様な強い混沌の伝播の収束速度を確立する。

提案手法

• 階層的サンプリングレベルとアンチシティブラ変数を組み合わせることで分散を低減するアンチシティブラ・マルチレベル・モンテカルロ（A-MLMC）推定器を提案する。
• 各レベル$\ell$において、$N_\ell = 2^\ell$個の標本からなる経験的測度$\mu^{N_{\ell}, \theta, \ell}$を、独立同一分布に従う標本または相互作用粒子系から得る。
• 連続するレベル間でアンチシティブラカップリングを適用し、マルチレベル階層における差分推定器の分散を低減する。
• 確率測度空間上の一般関数的量に対して、アンチシティブラ差分の$L^2$バインドを導出する。
• McKean-Vlasov SDEのEuler離散化を適用し、完全に実装可能なアルゴリズムを導出する。
• Malliavin微積分と関数的 Itô微積分を用いて、粒子系の誤差推定を導出し、条件付き期待値とPDEに基づくキャンセレーションを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンチシティブラサンプリングをマルチレベル・モンテカルロと効果的に組み合わせることで、測度の非線形関数的量における分散を低減できるか？
• RQ2 McKean-Vlasov SDEの文脈において、経験的測度の非線形関数的量に対するA-MLMC推定器の収束速度はいかほどか？
• RQ3 関数的$\Phi$に関する弱い正則性仮定のもとで、A-MLMC推定器は次元に依存しない収束速度を達成するか？
• RQ4 提案された推定器のもとで、平均場粒子系の均一な強い混沌の伝播の速度はいかほどか？
• RQ5 一般関数的量が$\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$上に存在する文脈において、独立同一分布に従う標本のアンチシティブラ差分に対して鋭い$L^2$バインドを確立できるか？

主な発見

• 弱い正則性仮定のもとで、A-MLMC推定器は平均二乗誤差が$O(N^{-1/2})$のオーダーに達する。これは中心極限定理のスケーリングと一致する。
• 本手法により、一般の非線形関数的量に対して、相互作用粒子系の次元に依存しない一様な強い混沌の伝播の収束速度が確立される。
• 独立同一分布に従う標本に対して、アンチシティブラ差分の$L^2$バインドが導出され、マルチレベルフレームワークにおける分散低減に不可欠である。
• McKean-Vlasov SDEのEuler離散化により、バイアスと分散を制御可能な完全に実装可能なアルゴリズムが得られる。
• 解析により、アンチシティブラカップリングを用いたマルチレベル構造が、非線形関数的量の文脈であっても、通常のモンテカルロと同等の計算効率を達成することが確認された。
• 本稿では、A-MLMC推定器におけるテレスコピング和が$\Phi(\mu)$の不偏推定値を生成することを証明し、分散がアンチシティブラカップリングによって制御されることを示した。