[論文レビュー] Approximative solution of the spin free Hamiltonian involving only scalar potential for the quark-antiquark system

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小質量のクォークを有するクォーク-反クォーク系のスピンフリー ハミルトニアンを近似するために、新たな特殊関数であるグランドコンフラuentハイパージオメトリック（GCH）関数を提案する。コンフラuentハイパージオメトリック理論の一般化により、GCH関数は三項再帰関係を用いた解析的解を可能にし、隠れた半径量子数と超対称性およびハドロン分光論に関連する新しい質量式を明らかにする。

ABSTRACT

In earlier papers [3,4,5,6] Gursey et al. showed development of a bilocal baryon-meson field from two quark-antiquark fields. The Hamiltonian in the case of vanishing quark masses was shown to have a very good agreement with experiments [5]. The theory for vanishing mass was solved using Confluent Hypergeometric functions [6]. In this paper I construct the normalized wave function for the spin-free Hamiltonian with light quark masses (only up to the first order of the mass of quark). I develop the new kind of special function theory in mathematics that generalize all existing theories of Confluent Hypergeometric types. I call it the 'Grand Confluent Hypergeometric (GCH) Function.' My solution produces previously unknown extra "hidden" radial quantum numbers relevant for description of supersymmetry and for generating new mass formulas. This paper is 1st out of 10 in series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)". See section 6 for all the papers in the series. The next paper in the series describes generalization of three term recurrence relation in linear ordinary differential equations and its applications [8].

研究の動機と目的

• 小質量クォークを含む超対称クォーク模型を、質量零限界を超えて拡張すること。
• 非零のクォーク質量に起因する三項再帰関係を有する系を記述する際、既存のコンフラuentハイパージオメトリック関数の限界を解消すること。
• 既存の特殊関数理論を一般化する新たな数学的枠組み、すなわちグランドコンフラuentハイパージオメトリック（GCH）関数を構築すること。
• メソンおよびバリオンのレッジ軌道における簡並や質量パターンを説明する可能性を有する、以前未知の隠れた半径量子数を同定すること。
• 同様の形式を用いて、未来のExoticハドロン（例：テトラクォーク、反バリオン）における質量式の導出の基盤を築くこと。

提案手法

• スカラーのコンfinementポテンシャルと一次のクォーク質量補正を含む $q-\bar{q}$ 系のスピンフリー ハミルトニアンを定式化する。
• ハミルトニアンから二階線形微分方程式を導出し、級数展開における三項再帰関係に帰着する。
• 得られた微分方程式を解くために、コンフラuentハイパージオメトリック関数の一般化としてグランドコンフラuentハイパージオメトリック（GCH）関数を導入する。
• パラメータの代入（$\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$）により、GCH関数と既知の特殊関数（特にバイコンフラuentハイナ関数）との関係を確立する。
• 三項再帰公式（3TRF）技術を用いて、GCH関数の級数係数の解析的解を導出する。
• 形式を用いて固有値と固有関数を抽出し、標準的な半径量子数を超える新たな量子数を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小質量クォークを有するスピンフリークォーク-反クォークハミルトニアンは、質量零限界を超えてどのように解析的に解けるか？
• RQ2 相対論的クォーク模型の級数解において、二項再帰ではなく三項再帰関係が現れた場合、どのような新しい数学的構造が出現するか？
• RQ3 スペクトルに複数の固有値と隠れた量子数が現れた場合、どのような物理的意味が生じるか？
• RQ4 新しいグランドコンフラuentハイパージオメトリック（GCH）関数は、既存の特殊関数（コンフラuentハイパージオメトリック関数やハイナ関数）をどのように一般化するか？
• RQ5 GCH関数の枠組みは、バリオン、反バリオン、およびExoticメソンの新しい質量式の導出に拡張可能か？

主な発見

• 小質量クォークの導入により、二項再帰関係が三項再帰関係に変化し、新たな特殊関数であるグランドコンフラuentハイパージオメトリック（GCH）関数の導入が不可避となった。
• GCH関数は、小質量クォークを有するスピンフリー ハミルトニアンの解析的解を提供し、一次補正まで有効である。
• 解は無限個の固有値をもち、それぞれが無限個の固有関数に対応しており、新たな「隠れた半径量子数」のクラスを導入する。
• GCH関数はコンフラuentハイパージオメトリック関数を一般化しており、特定のパrameter制限（$\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$）においてバイコンフラuentハイナ関数に還元される。
• 新規形式により、以前未知の質量式が導出可能となり、ハドロンスペクトルにおける超対称性の記述の数学的基盤が提供される。
• この枠組みは、$q-qq$ バリオン、$\bar{q}-\bar{q}\bar{q}$ 反バリオン、$qq-\bar{q}\bar{q}$ テトラクォークなど他の系へも拡張可能であり、今後の研究で正確な質量関係が得られると期待される。