[論文レビュー] Power series and integral forms of Lame equation in Weierstrass's form

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、三項再帰公式（3TRF）を用いて、ワイエルシュトラス形式のラマ方程式のべき級数および積分表現を導出し、無限級数および多項式解の両方の閉形式積分表現を確立する。主な発見は、部分積分形にハイパージェオメトリック関数 ${}_2F_1$ が繰り返し現れ、$A_n$ 項の累乗が増加することであり、また、ポアンカレ＝ペロンの定理がラマ関数に普遍的に適用されない理由を明確にする。

ABSTRACT

I consider the power series expansion of Lame function in the Weierstrass's form and its integral forms applying three term recurrence formula[1]. I investigate asymptotic expansions of Lame function for the cases of infinite series and polynomials. I will show how the power series expansion of Lame functions in the Weierstrass's form can be converted to closed-form integrals for all cases of infinite series and polynomial. One interesting observation resulting from the calculations is the fact that a Gauss hypergeometric function recurs in each of sub-integral forms: the first sub-integral form contains zero term of A_n's, the second one contains one term of A_n's, the third one contains two terms of A_n's, etc. This paper is 7th out of 10 in series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)". See section 7 for all the papers in the series. Previous paper in series deals with the power series expansion and the integral formalism of Lame equation in the algebraic form and its asymptotic behavior[19]. The next paper in the series describes the generating functions of Lame equation in the Weierstrass's form[21]. Nine examples of 192 local solutions of the Heun equation (Maier, 2007) are provided in the appendix. For each example, I show how to convert local solutions of Heun equation by applying 3TRF to analytic solutions of Lame equation in Weierstrass's form.

研究の動機と目的

• 三項再帰公式（3TRF）を用いて、ワイエルシュトラス形式のラマ方程式のべき級数および積分形を導出すること。
• 無限級数および多項式解の両方におけるラマ関数の漸近的挙動を調査すること。
• ラマ方程式に対してポアンカレ＝ペロンの定理が不成立となる条件を明確にすること。
• べき級数展開を変換することにより、すべてのラマ解（無限級数および多項式）の閉形式積分表現を確立すること。
• 数え上げられた $A_n$ 項の数に従って、部分積分形に ${}_2F_1$ ハイパージェオメトリック関数が再帰的に現れる仕組みを示すこと。

提案手法

• 三項再帰公式（3TRF）を適用し、ワイエルシュトラス形式のラマ関数のべき級数展開を導出する。
• 解析接続および積分形式を用いて、べき級数解を閉曲線積分表現に変換する。
• 変数変換 $\xi = \text{sn}^2(z,\rho)$ を用い、ラマ方程式を $\xi = 0, 1, \rho^{-2}, \infty$ に4つの正則な特異点をもつフックス型微分方程式に変換する。
• 解を $t_k, u_k, v_k$ に関するネストした積分および $w_{n-k,n}$ を含む閉曲線積分を用いたハイパージェオメトリック型級数として表現し、積分形を導出する。
• 既知のヘン方程式の局所解（Maier, 2007年）を用い、3TRFを介してそれらをラマ解にマッピングすることで、192個のヘン方程式の局所解を解析的ラマ解に変換可能であることを示す。
• 再帰構造および積分核内のハイパージェオメトリック重み関数をパrameter化するため、パラメータ $\Omega_{n-k-1}$ と $Q$ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイエルシュトラス形式のラマ方程式のべき級数解を、閉形式積分表現に体系的かつ一貫して変換する方法は何か？
• RQ2 なぜポアンカレ＝ペロンの定理は、特定のラマ方程式解に対して収束を保証しないのか？
• RQ3 ハイパージェオメトリック関数 ${}_2F_1$ は、導出された積分形の部分積分成分において、どのような役割を果たすのか？
• RQ4 級数に含まれる $A_n$ 項の数が、得られる積分表現の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 192個のヘン方程式の局所解を、3TRFを用いてワイエルシュトラス形式のラマ方程式の解析的解に体系的にマッピングできるか？

主な発見

• ワイエルシュトラス形式のラマ方程式のべき級数解が、三項再帰公式（3TRF）を介して閉形式積分表現に成功して変換された。
• ラマ方程式に対してポアンカレ＝ペロンの定理は、3項再帰の非一様収束性、特に多項式解の場合に顕著であるため、普遍的に適用可能ではない。
• 導出された表現における各部分積分形には、${}_2F_1\left(\frac{\alpha}{4}+\frac{1}{4}, \frac{\alpha}{4}+\frac{1}{2}; \frac{3}{4}; z\right)$ の形のハイパージェオメトリック関数が含まれており、高次の項では $A_n$ 項の数が増加する。
• 積分形は、$t_k, u_k$ に関するネストした積分および $v_k$ に関する閉曲線積分を含み、再帰的微分作用素およびパラメータ $\Omega_{n-k-1}$ と $Q$ を統合している。
• 3TRFを適用することにより、ヘン方程式の局所解からラマ方程式の解への変換が体系的に行われ、付録に9例が示されている。
• 解の漸近的挙動が解析され、$x$ の境界条件が導出されており、$\rho$ および $\alpha$ に依存することが示された。