[論文レビュー] Arakelov-Nevanlinna inequalities for variations of Hodge structures and applications

Damian Brotbek, Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素極小化されたホッジ構造の変動が存在する $X\setminus D$ を持つ対 $(X,D)$ に対して、アラケロフ不等式のネヴァンリンナ理論的類似を確立し、第二主定理型の不等式を証明する。主な結果は、グリフィス＝シュミット計量の特徴関数を基底の双曲的不変量で評価することにより、ネヴァンリンナ理論的双曲的基準を導く。これはナデルの結果を一般化する。

ABSTRACT

We prove a Second Main Theorem type inequality for any log-smooth projective pair $(X,D)$ such that $X\setminus D$ supports a complex polarized variation of Hodge structures. This can be viewed as a Nevanlinna theoretic analogue of the Arakelov inequalities for variations of Hodge structures due to Deligne, Peters and Jost-Zuo. As an application, we obtain in this context a criterion of hyperbolicity that we use to derive a vast generalization of a well-known hyperbolicity result of Nadel. The first ingredient of our proof is a Second Main Theorem type inequality for any log-smooth projective pair $(X,D)$ such that $X\setminus D$ supports a metric whose holomorphic sectional curvature is bounded from above by a negative constant. The second ingredient of our proof is an explicit bound on the holomorphic sectional curvature of the Griffiths-Schmid metric constructed from a variation of Hodge structures. As a byproduct of our approach, we also establish a Second Main Theorem type inequality for pairs $(X,D)$ such that $X\setminus D$ is hyperbolically embedded in $X$.

研究の動機と目的

• ホッジ構造の変動に対して、ネヴァンリンナ理論的類似のアラケロフ不等式を確立すること。
• パラボリックなリーマン面から双曲的で滑らかな対に値をとる写像の双曲的基準を導出すること。
• 双曲的埋め込みを許す場合に、新しい不等式を適用することでナデルの双曲的結果を一般化すること。
• グリフィス＝シュミット計量の曲率バウンドを通じて、解析的および代数的第二主定理を統一すること。
• $X\setminus D$ が $X$ に双曲的に埋め込まれている場合に、小林＝ロイデン計量と曲率比較を用いて、第二主定理を証明すること。

提案手法

• 証明は、上界が負定数である holomorphic なセクション曲率を持つ計量に対する第二主定理不等式と、ホッジ構造の変動から得られるグリフィス＝シュミット計量の明示的曲率バウンドを組み合わせる。
• 非コンパクトなパラボリックなリーマン面 $B$ 上のパラボリックな絶対収縮関数 $\sigma$ を用いて、重み付きオイラー特徴数 $\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r)$ を定義する。
• ホロモーフィック写像 $f: B \to X$ が除数 $D$ を避ける場合に、ラインバンドル曲率の引き戻しを用いて、ネヴァンリンナ特徴関数 $T_{f,L}(r)$ と数え上げ関数 $N^{[1]}_{f,D}(r)$ を定義する。
• グリフィス＝シュミット計量の曲率バウンドは、特にユニポテンツモノドロミーとホッジ bundle の標準的デリーニュ＝シュミット拡張の性質から導かれる。
• 主な不等式は、$T_{f,\bar{L}_{\mathbb{V}}}(r)$ と $-\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r) + N^{[1]}_{f,D}(r)$ を比較し、$T_{f,A}(r)$ および $\log r$ を含む下位の補正項を伴う。これは、測度が有限なボレル集合を除いて有効である。
• 双曲的埋め込みの場合、小林＝ロイデン計量の距離減少性と、形式 $\omega_U$ を通じた標準的ネヴァンリンナ特徴関数との比較を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的で滑らかな対におけるホッジ構造の変動に対して、ネヴァンリンナ理論的第二主定理を確立できるか？
• RQ2 グリフィス＝シュミット計量のホロモーフィックセクション曲率が、ネヴァンリンナ特徴関数の成長にどのように制限を加えるか？
• RQ3 ホッジ理論的データの文脈において、アラケロフ＝ネヴァンリンナ不等式から導かれる双曲的基準は何か？
• RQ4 $X\setminus D$ が $X$ に双曲的に埋め込まれている場合に、解析的第二主定理を拡張できるか？
• RQ5 新しい不等式が、代数的多様体におけるナデルの双曲的結果をどの程度一般化するか？

主な発見

• 本稿は、任意の非定数ホロモーフィック写像 $f: B \to X$ が、正則交叉除数 $D$ を避ける場合に、測度が有限なボレル集合を除いて、不等式 $$ T_{f,\bar{L}_{\mathbb{V}}}(r) \leq \frac{w^2 \cdot \operatorname{rank}\mathcal{L}}{4} \left( -\mathfrak{X}_{B,\sigma}(r) + N^{[1]}_{f,D}(r) \right) + C(\log r + \log T_{f,A}(r)) $$ が成り立つことを証明する。
• グリフィス＝シュミット計量の曲率バウンドは、明示的に $\leq -\frac{1}{2}$ として導出され、ネヴァンリンナ理論への適用を可能にする。
• 双曲的埋め込み $X\setminus H$ が $X$ に埋め込まれている場合、不等式 $$ T_{f,A}(r) \leq_{\rm exc} \alpha_{\rm an}(N^{(1)}_{f,H}(r) - \mathfrak{X}_{\sigma}(r)) + O(\log r) $$ が確立され、ここで $\alpha_{\rm an} = \frac{\pi}{2\eta(1-\varepsilon)}$（任意の $\varepsilon > 0$）であり、$\eta$ は双曲的埋め込みを制御する。
• 代数的バージョンの不等式は、$\alpha_{\rm alg} = \frac{\pi}{2\eta}$ を用いて、射影的曲線に対して $\deg f^*A \leq \alpha_{\rm alg}(\deg(f^*H)_{\rm red} - \chi(B))$ を得る。これはパチェンツァとルッソーの予想を確認する。
• 本手法は、曲率と計量比較技術を通じて、解析的および代数的第二主定理を統一する一般枠組みを提供する。
• 本結果は、$X\setminus D$ がユニポテンツモノドロミーを持つホッジ構造の変動を許す場合に、ナデルの双曲的定理を拡張する。すなわち、任意の非定数写像が、$D$ を避けるパラボリックなリーマン面から $X$ への写像は、強い成長制約を満たす必要があり、これは広義の意味での双曲的性を示唆する。