[論文レビュー] Big Picard theorem and algebraic hyperbolicity for varieties admitting a variation of Hodge structures

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 61被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、複素極形式Hodge構造の一般化された変動（C-PVHS）を備え、周期写像が準有限である quasi-projective 多様体に対して、代数的双曲的性と一般化された大ピカール定理を確立する。さらに、このような多様体に対して強い双曲的性を示し、エルミート対称空間に関する結果を拡張するとともに、Bakker-Brunebarbe-Tsimermanの最近の研究を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we study three notions of hyperbolicity for varieties admitting complex polarized variation of Hodge structures ($\mathbb{C}$-PVHS for short). In the first part we prove that if a quasi-projective manifold $U$ admits a $\mathbb{C}$-PVHS whose period map is quasi-finite, then $U$ is algebraically hyperbolic in the sense of Demailly, and that the generalized big Picard theorem holds for $U$: any holomorphic map $f:\Delta-\{0\} o U$ from the punctured unit disk to $U$ extends to a holomorphic map of the unit disk $\Delta$ into any projective compactification of $U$. This result generalizes a recent work by Bakker-Brunebarbe-Tsimerman. In the second part of this paper, we prove the strong hyperbolicity for varieties admitting $\mathbb{C}$-PVHS, which is analogous to previous works by Nadel, Rousseau, Brunebarbe and Cadorel on hermitian symmetric spaces.

研究の動機と目的

• C-PVHSを備え、周期写像が準有限である quasi-projective 多様体に対して、代数的双曲的性を確立すること。
• このような多様体に対して、一般化された大ピカール定理を証明し、穴あき円板からの正則写像が全円板へ正則に拡張可能であることを保証すること。
• これまでエルミート対称空間に対して知られていた強い双曲的性の結果を、C-PVHSを備える多様体へ拡張すること。
• Bakker-Brunebarbe-Tsimermanによる双曲的性およびHodge構造の変動に関する最近の進展を、この文脈へ一般化すること。

提案手法

• C-PVHSに付随する周期写像を用いて、底多様体 U の幾何を分析する。
• 周期写像の準有限性を応用し、Demaillyの意味での代数的双曲的性を導出する。
• 複素幾何における解析的技法を用いて、U への穴あき単位円板からの正則写像が全単位円板へ正則に拡張可能であることを示す。
• Nadel, Rousseau, Brunebarbe, Cadorel がエルミート対称空間における双曲的性を研究した手法を、C-PVHSの文脈へ適応する。
• Hodge計量の曲率性質および正則断面曲率の負性を用いて、強い双曲的性を導出する。
• Hodge構造の変動およびそのモノドロミー作用の理論に依拠し、正則曲線の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C-PVHSを備え、周期写像が準有限である quasi-projective 多様体は、Demaillyの代数的双曲的性の定義を満たすか？
• RQ2 有限モノドロミーの場合に限らない、C-PVHSを備える多様体へ一般化された大ピカール定理を拡張できるか？
• RQ3 エルミート対称空間の双曲的性は、C-PVHSを備える多様体へどの程度一般化可能か？
• RQ4 周期写像の準有限性は、穴あき円板からの正則写像の拡張性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 C-PVHSにどのような条件を課すと、底多様体の強い双曲的性が保証されるか？

主な発見

• C-PVHSを備え、周期写像が準有限である任意の quasi-projective 多様体 U は、Demaillyの意味での代数的双曲的性を満たす。
• 任意の正則写像 f: Δ−{0} → U は、U の任意の射影的コンactificationにおいて、全単位円板 Δ へ正則に拡張可能である。
• このような多様体 U に対して、一般化された大ピカール定理が成り立ち、有限モノドロミーの場合の既存結果を拡張する。
• 多様体 U は強い双曲的性を満たす。これは、任意の複素多様体から U への正則写像が代数的退化であることを意味する。
• 本研究の結果は、Bakker-Brunebarbe-Tsimermanの先行研究を一般化し、エルミート対称空間における双曲的性の結果を C-PVHS のより広い設定へ拡張する。