[論文レビュー] Arbitrage-free pricing of American options in nonlinear markets
本稿は、後向き確率微分方程式（BSDEs）を用いて、非線形金融市場におけるアメリカン・オプションのアービッジフリーパricingフレームワークを構築する。保有者の合理的な行使時刻が発行者の損益分岐時刻と一致する条件を確立し、一般のダイナミクスとデフォルトリスクを伴う非線形設定に古典的結果を拡張する。
We re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2018) who studied American and game options in a particular market model using the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). In the first part, we provide a detailed study of unilateral valuation problems for the two counterparties in an American-style contract within the framework of a general nonlinear market. We extend results from Bielecki and Rutkowski (2015) and Bielecki, Cialenco and Rutkowski (2018) who examined the case of a European-style contract. In the second part, we present a BSDE approach, which is used to establish more explicit pricing, hedging and exercising results when solutions to reflected BSDEs have additional desirable properties.
研究の動機と目的
- 線形市場モデルを超えて一般の非線形市場へと、アメリカン・オプションの単独価格設定およびヘッジフレームワークを拡張すること。
- 非線形価格測度下で発行者および保有者の公平かつ受容可能な価格を特徴付けること。
- 保有者の合理的な行使時刻が発行者の損益分岐時刻と一致する条件を確立すること。
- ドライバおよびフィルトレーションに関する一般的な仮定の下で、反射BSDEを用いて明示的な価格設定およびヘッジ結果を提供すること。
- 非線形期待値および最適停止の先行結果を、非対称な行使権を持つアメリカン・オプション設定に一般化すること。
提案手法
- 不完全で非線形な市場における動的価格設定とヘッジをモデル化するため、BSDEから導かれる非線形期待値作用素 $\mathcal{E}^{g,h}$ を用いる。
- 発行者のポジション価値プロセスおよび保有者のペイオフプロセスをモデル化するため、単一の反射バリアを有する反射BSDEを適用する。
- 停止時刻を越えて価格評価が一意的かつ一貫的になるように、非線形期待値 $\mathcal{E}^{g,h}$ に厳密な比較性を課す。
- 保有者の継続価値が即時のペイオフと等しくなる停止時刻 $\tau$ を合理的な行使時刻として定義し、プロセス $x_t = V_t(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi)$ を用いる。
- 発行者の損益分岐時刻という概念を導入し、それは残存請求権の価値が行使ペイオフと等しくなる時刻であり、BSDE解における等式を通じて合理的な行使と関連付ける。
- スコロホド型の反射条件および局所時間プロセス $k_t$ の連続性を用いて、最後の合理的な行使時刻 $\bar{\tau}^h$ を特徴付ける。
実験結果
リサーチクエスチョン
- RQ1非線形市場において、アメリカン・オプション保有者の合理的な行使時刻が発行者の損益分岐時刻と一致する条件は何か？
- RQ2一般の非線形市場モデルにおいて、両当事者に対して一貫的に定義可能な単独価格設定およびヘッジはどのように実現できるか？
- RQ3非線形期待値 $\mathcal{E}^{g,h}$ の厳密な比較性が、価格設定および行使戦略の一意性と一貫性を保証するために果たす役割は何か？
- RQ4反射BSDEの解の性質が、非線形設定における最適停止時刻の特徴付けにどのように影響するか？
- RQ5ドライバの構造および局所時間プロセス $k_t$ を用いて、最初および最後の合理的な行使時刻を明示的に特定できるか？
主な発見
- 最初の合理的な行使時刻 $\tau^h$ は、保有者の継続価値が即時のペイオフと等しくなる最初の時刻 $t$ として特徴付けられ、すなわち $y_t = x_t$ で $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$ である。
- 最後の合理的な行使時刻 $\bar{\tau}^h$ は存在し、$k_{\bar{\tau}^h} = 0$ および $y_{\bar{\tau}^h} = x_{\bar{\tau}^h}$ を満たす。ただし、局所時間プロセス $k_t$ が連続であることが前提となる。
- 発行者の合理的な価格 $\hat{p}^{r,h}$ が売り手の価格 $\hat{p}^{s,h}$ と等しい場合、任意の合理的な行使時刻 $\tau$ において $V_\tau(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi) = x\_\tau$ が成り立つ。これは、合理的な行使時刻が損益分岐時刻でもあることを意味する。
- プロセス $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$ は、任意の合理的な行使時刻 $\tau^\prime$ を含む区間 $[0, \tau^\prime]$ において $\mathcal{E}^{g,h}$- martingale である。これは $k_{\tau^\prime} = 0$ を意味する。
- もし $\tau^\prime$ が合理的な行使時刻であれば、$\mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(x_{\tau^\prime}) = \mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(y_{\tau^\prime}) = y_0$ であり、厳密な比較性から $y_{\tau^\prime} = x_{\tau^\prime}$ が導かれる。
- 局所時間 $k_t$ の連続性は、$\bar{\tau}^h$ が合理的な行使時刻であることを保証するために不可欠である。連続性がなければ、$k_{\bar{\tau}^h} \neq 0$ となる可能性があり、その場合 $\bar{\tau}^h$ が合理的な行使時刻でなくなる。
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