[論文レビュー] Arbitrage theory without a numéraire

Michael R. Tehranchi|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、基準資産の存在を仮定しない離散時間における套利理論を構築し、マルティンゲール・デフレーターを核となる道具として用いて、資産価格設定の基本定理を確立する。主な貢献は、基準資産に依存しない套利なしおよび超複製の特徴付けであり、価格バブルや絶対的・相対的套利の離散時間版への応用を含む。

ABSTRACT

This note develops an arbitrage theory for a discrete-time market model without the assumption of the existence of a numéraire asset. Fundamental theorems of asset pricing are stated and proven in this context. The distinction between the notions of investment-consumption arbitrage and pure-investment arbitrage provide a discrete-time analogue of the distinction between the notions of absolute arbitrage and relative arbitrage in the continuous-time theory. Applications to the modelling of bubbles is discussed.

研究の動機と目的

• 基準資産の存在を仮定しない離散時間市場における資産価格設定の基本定理を確立すること。
• 基準資産に依存する同等マルティンゲール測度の代わりに、マルティンゲール・デフレーターを用いて、套利なしの条件を特徴付けること。
• 連続時間における絶対的（投資・消費）および相対的（純投資）套利の区別を、離散時間版として提供すること。
• 連続時間の定義と整合的な離散時間における価格バブルの概念を形式化すること。
• 基準資産が存在しない状況においても、継続的クレームの最小超複製コストがマルティンゲール・デフレーター下での期待値によって特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 最適投資問題における主双変数としてのマルティンゲール・デフレーターを、いかなる基準資産にも依存しない形で用いる。
• 一般化された条件付き期待値および離散時間における局所マルティンゲール理論を用いて、可積分でない、あるいは病理的に定義された確率変数を取り扱う。
• Rogers（2002）のフレームワークを模倣した効用最大化枠組みを用い、凸解析や分離定理を用いずに資産価格設定の基本定理を導出する。
• Kabanovの定理を用いて、局所マルティンゲール・デフレーターが弱い条件のもとで真のマルティンゲール・デフレーターの存在を示す。
• 可測選択定理（例：命題7.10）を用いて、確率的制御問題における最適化子の可測性を保証する。
• 証明における確率変数列の収束を扱うため、可測版のボルツァーノ＝ヴァイエルシュトラスの定理（命題7.11）を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 資産価格設定の基本定理は、基準資産の存在を仮定せずに再定式化可能か？
• RQ2 離散時間における投資・消費型と純投資型套利の区別は、連続時間における絶対的および相対的套利の概念をどのように模倣するか？
• RQ3 基準資産が存在しない離散時間市場において、価格バブルを意味的に定義可能か？
• RQ4 基準資産が存在しない状況において、マルティンゲール・デフレーターは、套利なしおよび最小超複製コストをどのように特徴付けるか？
• RQ5 離散時間において、局所マルティンゲール・デフレーターが真のマルティンゲール・デフレーターの存在を示す条件は何か？

主な発見

• マルティンゲール・デフレーターの存在は、基準資産を仮定しない離散時間市場においても、套利の不在と同値である。
• 継続的クレームの最小超複製コストは、すべてのマルティンゲール・デフレーター下での期待ペイオフの上界として与えられる。
• 市場に基準資産が存在しない場合でも、離散時間における価格バブルが存在しうる。これは連続時間におけるバブルの定義（内在的価値からの逸脱）と類似している。
• 投資・消費型と純投資型套利の区別は、連続時間モデルにおける絶対的および相対的套利の離散時間版を提供する。
• 市場が完全かつ套利なしのとき、リスクフリーな基準資産が存在する必要がある。これは、新しい枠組みのもとで古典的結果が回復されることを示している。
• Kabanovの定理により、与えられた条件下で局所マルティンゲール・デフレーターを真のマルティンゲール・デフレーターに変換可能であり、標準的なマルティンゲール技法の使用が可能になる。