[論文レビュー] Universal Arbitrage Aggregator in Discrete Time Markets under Uncertainty

Matteo Burzoni, Marco Frittelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、モデルの不確実性下での離散時間金融市場において、普遍的な套利集約者を導入する。『S-クラスの套利』を定義するために、柔軟な顕著集合のクラスを用いる。モデル独立的套利（S = {Ω}）の不在は、マルティングール測度の存在と同値であり、オープン・アービタージュ（S = 開集合）の不在は、全サポートを持つマルティングール測度の存在と同値である。これは、新規のフィルトレーション拡大と普遍的集約者構成を用いて確立される。

ABSTRACT

In a model independent discrete time financial market, we discuss the richness of the family of martingale measures in relation to different notions of Arbitrage, generated by a class $\mathcal{S}$ of significant sets, which we call Arbitrage de la classe $\mathcal{S}$. The choice of $\mathcal{S}$ reflects into the intrinsic properties of the class of polar sets of martingale measures. In particular: for S=$Ω$ absence of Model Independent Arbitrage is equivalent to the existence of a martingale measure; for $\mathcal{S}$ being the open sets, absence of Open Arbitrage is equivalent to the existence of full support martingale measures. These results are obtained by adopting a technical filtration enlargement and by constructing a universal aggregator of all arbitrage opportunities. We further introduce the notion of market feasibility and provide its characterization via arbitrage conditions. We conclude providing a dual representation of Open Arbitrage in terms of weakly open sets of probability measures, which highlights the robust nature of this concept.

研究の動機と目的

• 参照確率測度を仮定せずに、モデルの不確実性下での離散時間市場におけるアービタージュを特徴付ける統一的枠組みの構築を目的とする。
• 顕著集合のクラスSの違いが、マルティングール測度の豊かさと極集合の構造に与える影響を調査すること。
• 『市場の実現可能性』の概念を導入・形式化し、アービタージュ条件を通じて特徴づけること。
• 弱く開集合の確率測度の族を用いた、オープン・アービタージュの双対表現を提供し、その堅牢性を強調すること。
• 異なるSのクラスにわたるすべてのアービタージュ機会を捉える普遍的集約者を確立し、ノーアービタージュ条件の統一的取り扱いを可能とすること。

提案手法

• 顕著集合のクラスSを定義し、モデル独立的アービタージュ（S = {Ω}）やオープン・アービタージュ（S = 開集合）を含む、異なるアービタージュの概念を生成する。
• フィルトレーション拡大技術を用いて、すべてのアービタージュ機会の普遍的集約者を構成し、あらゆる可能な戦略にわたるアービタージュの分析を可能にする。
• 確率測度の空間におけるσ(𝐏, C_b)位相を用いて、測度の弱収束性と補集合の性質を分析する。
• 弱位相と凸解析の結果、特にディラック測度の凸結合の稠密性を応用し、測度の集合の閉包と稠密性を特徴付ける。
• 測度の補集合が、すべての全測度を持つ閉集合の共通部分であることを活用し、閉集合Dに補集合を持つ測度の集合が弱く閉じていることを証明する。
• オープン・アービタージュと、戦略が状態の開集合で正のリターンをもたらすような測度の弱く開集合が存在することとの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 顕著集合のクラスSの選択が、極集合の構造とマルティングール測度の存在に与える影響は何か？
• RQ2 モデル独立的アービタージュの不在と、単一のマルティングール測度の存在との正確な関係は何か？
• RQ3 オープン・アービタージュの不在が、全サポートを持つマルティングール測度の存在を示す条件は何か？
• RQ4 モデルに依存しない設定において、アービタージュ機会の普遍的集約者をどのように構成できるか？
• RQ5 弱く開集合の確率測度族を用いたオープン・アービタージュの双対表現は何か？この表現が示す堅牢性とは何か？

主な発見

• モデル独立的アービタージュの不在（S = {Ω}）は、価格過程Sに対して少なくとも1つのマルティングール測度が存在することと同値である。
• オープン・アービタージュの不在（S = 開集合）は、全サポートを持つマルティングール測度（すなわち、状態空間Ω全体に補集合を持つマルティングール測度）の存在と同値である。
• アービタージュ機会の普遍的集約者は、フィルトレーション拡大を用いて構成され、あらゆるSのクラスにわたるすべてのアービタージュ戦略の同時分析を可能にする。
• 閉集合Dに補集合を持つ確率測度の集合は、σ(𝐏, C_b)位相において弱く閉じている。これは、双対表現を証明する上で重要な技術的結果である。
• オープン・アービタージュの双対表現は、それが堅牢であることを示している：それは、戦略が状態の開集合で正のリターンをもたらすような非空の弱く開集合の測度族の存在に対応する。
• 構成により、戦略Hがオープン・アービタージュであれば、その正のリターン集合𝒱_H^+は開集合を含み、ゼロ集合の補集合は稠密でない。これは、Hが正の確率で正のリターンをもたらすような弱く開集合の測度族が存在することを示唆する。