[論文レビュー] Are There Sixth Order Three Dimensional PNS Hankel Tensors

Guoyin Li, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、6次元3次元ハンケルテンソルが、和の平方（SOS）でないが正定値半定値（PSD）である可能性があるかどうか、いわゆるPNSテンソルと呼ばれるクラスについて調査している。構造的クラスの解析と、数千個のランダムに生成されたPSDハンケルテンソルを用いた広範な数値的検証を通じて、PNSの例は一切得られなかった。この結果、このようなテンソルは存在しないという予想に至った。このことは、このクラスにおけるPSD検出問題が半正定値計画法（SDP）によって解ける可能性を示唆している。

ABSTRACT

Are there positive semi-denite (PSD) but not sums of squares (SOS) Hankel tensors? If the answer to this question is "no", then the problem for determining an even order Hankel tensor is PSD or not can be solved in polynomial-time. By Hilbert, one of the cases of low order (degree) and dimension (number of variables), in which PSD non-SOS (PNS) symmetric tensors (homogeneous polynomials) exists, is of order six and dimension three. The famous Motzkin polynomial falls into this case. In this paper, we study the existence problem of sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. We examine various important classes of sixth order three dimensional Hankel tensors. No PNS Hankel tensors are found in these cases. We then randomly generate several thousands of sixth order three dimensional Hankel tensors and make them PSD by adding adequate multiple of a xed sixth order three dimensional positive definite Hankel tensor. Again, still no PNS Hankel tensors are found. Thus, we make a conjecture that there are no sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. If this conjecture turns out to be true, this implies that the problem for determining a given sixth order three dimensional Hankel tensor is PSD or not can be solved by a semi-definite linear programming problem.

研究の動機と目的

• 6次元3次元ハンケルテンソルが正定値半定値（PSD）であるが、和の平方（SOS）でない、いわゆるPNSテンソルである可能性があるかどうかを特定すること。
• このようなPNSハンケルテンソルの存在が、このクラスにおけるPSD検出問題がNP困難であることを示唆するかどうかを検討すること。
• 6次元3次元ハンケルテンソルの特定のクラスについて、PNS行動を検証すること。
• 数千個のランダムに生成されたハンケルテンソルを用いた数値的実験を通じて、PNSハンケルテンソルが存在しないという仮説を検証すること。
• 半正定値計画法（SDP）を用いた多項式時間でのPSD検出問題の解法可能性に及ぼす影響を評価すること。

提案手法

• PNSの可能性を特定するため、6次元3次元ハンケルテンソルの構造的クラスを分析する。
• PSDおよびSOSの性質をテストする目的で、数え千個の6次元3次元ハンケルテンソルをランダムに生成する。
• ランダムに生成されたテンソルをPSDの集合に合わせるため、固定された正定値ハンケルテンソルを適用する。
• 半正定値計画法（SDP）を用いてPSD状態およびSOS分解を検証する。
• すべてのテスト対象テンソルについて、PSDとSOSの条件を体系的に比較する。
• すべてのテストケースでPNSテンソルが存在しないことから、仮説を立案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元3次元ハンケルテンソルの中で、正定値半定値（PSD）であるが、和の平方（SOS）でない（PNS）もの是否存在するか？
• RQ2 このようなPNSハンケルテンソルが存在しない場合、このクラスにおけるPSD状態の判定問題が多項式時間で解けることを示唆するか？
• RQ3 6次元3次元の次元でPNS対称テンソルを生成できると知られているモッツキン型構成は、ハンケルテンソルフレームワークで実現可能か？
• RQ4 ハンケルテンソルの構造的制約が、この特定のケースにおいてPNS行動を排除するのに十分か？
• RQ5 数千個のランダムに生成されたハンケルテンソルを用いた数値的テストは、このクラスにおけるPNSテンソルの存在を強く否定する強力な実証的証拠を提供できるか？

主な発見

• 構造的ハンケルテンソルの解析的クラスのすべてにおいて、6次元3次元のPNSハンケルテンソルは発見されなかった。
• 固定された正定値ハンケルテンソルを加えることでPSD化された数え千個のランダムに生成された6次元3次元ハンケルテンソルのうち、PNS行動を示すものは一切存在しなかった。
• 多様な解析的および数値的テストケースにおいてPNSテンソルが存在しないことから、このクラスにPNSテンソルが存在しないという仮説が支持された。
• 結果から、6次元3次元ハンケルテンソルの正定値半定値性は、半正定値計画法（SDP）によって検証可能である可能性が示唆された。
• これが確認されれば、このテンソルクラスにおけるPSD検出問題が多項式時間で解けることを示す。
• 研究結果は、6次元3次元におけるPNSテンソルに関するヒルベルトの古典的結果と整合しており、ハンケルテンソル構造に拡張されたものである。