[論文レビュー] Extending Mirror Conjecture to Calabi-Yau with Bundles

Cumrun Vafa|ArXiv.org|Apr 20, 1998

Geometry and complex manifolds被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、安定なベクトル bundle を備えた Calabi-Yau 多様体へのミラー対称性の拡張を試みる。ミラーは、ミラー多様体内の超対称ラグラジアンサイクルとして特定され、バンドルコホロロジーのホッジ構造の変化が、ミラー上に境界を持つ正則写像に関連づけられる。主な結果は、Bモデルにおけるオープンストリング振幅とAモデルにおけるディスクインスタントンを結ぶ一般化されたミラーマップであり、チャーン類とサイクルホモロジー類の明示的対応が得られる。

ABSTRACT

We define the notion of mirror of a Calabi-Yau manifold with a stable bundle in the context of type II strings in terms of supersymmetric cycles on the mirror. This allows us to relate the variation of Hodge structure for cohomologies arising from the bundle to the counting of holomorphic maps of Riemann surfaces with boundary on the mirror side. Moreover it opens up the possibility of studying bundles on Calabi-Yau manifolds in terms of supersymmetric cycles on the mirror.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau 多様体上のベクトルバンドルを含むミラー対称性の一般化を図ること。
• Calabi-Yau 3-fold 上の安定バンドルとそのミラーにおける超対称ラグラジアンサイクルとの間の対応を確立すること。
• ホッジ理論を介して、安定バンドルのモジュライ空間と超対称サイクルのモジュライ空間との間の対応を構築すること。
• オープンストリング Bモデル振幅と Aモデルディスクインスタントンを結ぶ一般化されたミラーマップを導出すること。
• バンドルをミラー-超対称サイクルを介して研究するための物理的および数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• Calabi-Yau 多様体に安定な U(N) バンドルが与えられたとき、そのミラーをミラー多様体 M 内の超対称 n サイクル C として定義する。ここで n は Calabi-Yau の複素次元である。
• H^{k,k}(M) から H_n(W) への写像を介して、C のホモロジー類をバンドルのチャーン類（c_0 から c_n まで）と関連付ける。
• T^n ファイバー上の T-duality を用いて、バンドルをラップする D-brane とミラー内のラグラジアンサイクルとの双対性を動機づける。
• ミラーサイクル C 上のチャーン・サイモンズ作用素とバンドル上の Bモデル作用素との間の対応を構築し、境界が C 上にある正則写像からのインスタントン補正を含む。
• Riemann 表面から C に境界を持つ正則ディスク写像の生成関数と、バンドル側の (0,1)-形式の三重交差を等しくする一般化されたミラーフォーミュラを導出する。
• モジュライ依存性および数え上げ不変量を考慮するため、マルチラップインスタントン補正とウィルスン線の挿入を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミラー対称性は、Calabi-Yau 多様体上のベクトルバンドルを含む形にどのように拡張可能か？
• RQ2 Calabi-Yau 3-fold 上の安定ベクトルバンドルのミラー双対は、D-brane や超対称サイクルの観点からどのように記述できるか？
• RQ3 バンドルのチャーン類は、ミラー多様体内のそのミラーサイクルのホモロジー類とどのように関係するか？
• RQ4 Bモデルにおけるオープンストリング振幅と Aモデルにおける境界がミラーサイクル上にあるディスクインスタントンとの間の物理的および数学的対応は何か？
• RQ5 バンドルコホロロジーのホッジ構造の変化は、境界を持つ正則写像の数え上げ不変量へどのように写像されるか？

主な発見

• 安定な U(N) バンドルが Calabi-Yau 3-fold 上に与えられたとき、そのミラーはミラー多様体 M 内の超対称ラグラジアン n サイクル C であり、そのホモロジー類はバンドルのチャーン類によって決定される。
• 固定されたチャーン類を持つ安定バンドルのモジュライ空間は、ミラー・サイクル C の複素モジュライ空間と同型であり、両者とも次元 H^1(C) を持つ。
• 一般化されたミラーマップにより、バンドル側の (0,1)-形式の三重交差が、境界が C 上にある正則ディスク写像の生成関数に等しくなる。この生成関数は、面積とウィルスン線の指数関数で重み付けられている。
• 一般化されたミラーフォーミュラの左辺には、正則接続 A と正則 3-形式 Ω の微分が含まれ、オープンストリング Bモデルにおけるホッジ構造の変化を表す。
• 右辺には、H_1(C) および H_2(M) 内のホモロジー類でラベルされた、境界が C 上にある正則写像からのインスタントン補正が含まれ、マークド・ポイントが C 内の Poincaré 双対 2-サイクルに写される。
• 非自明なサイクルに対してもこの対応は成り立ち、古典的極限（インスタントンなし）では C 上の三重交差数が回復され、高次の項はマルチラップディスクおよび量子補正を記述する。