[論文レビュー] Arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties

Michael Rapoport, Brian D. Smithling+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、PEL型整数的モデル（グローバルおよびセミグローバル）を構成し、Gillet–Souléの算術チャウ群を用いた算術的交差積を導入することで、ユニタリ・シュイマ多様体に対するグローバルな算術的 Gan–Gross–Prasad 予想を定式化する。低次元（n ≤ 3）においてこの予想を証明し、ヘッケ可換なコホモロジー的サイクルを通じて特殊L値と算術的交差数の間の関係を確立する。

ABSTRACT

We define variants of PEL type of the Shimura varieties that appear in the context of the Arithmetic Gan-Gross-Prasad conjecture. We formulate for them a version of the AGGP conjecture. We also construct (global and semi-global) integral models of these Shimura varieties and formulate for them conjectures on arithmetic intersection numbers. We prove some of these conjectures in low dimension.

研究の動機と目的

• PEL型のモジュライ問題を用いて、ユニタリ・シュイマ多様体に対する算術的 Gan–Gross–Prasad (AGGP) 予想の洗練された形を定式化すること。
• これらのシュイマ多様体のグローバルおよびセミグローバル整数的モデルを構成し、数体上での算術的交差理論を可能にする。
• ベイリンソン–ブローチの高さペアリングを、整数的モデル上の算術的チャウペアリングに置き換えることで、算術的交差数を定式化すること。
• 低次元の場合（n ≤ 3）に、グローバルなAGGP予想を不変条件で証明し、高ランクのユニタリ設定におけるAGGP予想の初の unconditional な検証を提供すること。

提案手法

• 群 $\widehat{G} = Z_Q \times G$ を用いてシュイマ多様体の変種を定義し、$Z_Q$ を $\{ z \in \mathrm{Res}_{F/Q}(G_m) \mid \mathrm{Nm}_{F/F_0}(z) \in G_m \}$ とすることで、PEL型モジュライ解釈を保証する。
• アーベル多様体の追加構造（偏極、自己準同型、レベル構造）のモジュライを用いて、反射体 $E$ 上のグローバルおよびセミグローバル整数的モデル $M^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$ を構成する。
• 標準的符号予想（Morel–Suhにより証明済み）を用いてヘッケ–キュンネンプト投影子を構成し、コホモロジーを奇数次元部分に射影する。
• 整数的モデル $X = \mathcal{M}^{\widehat{G}}_{\widehat{K}}$ 上のGillet–Souléの算術的チャウ群 $\widehat{CH}^d(X)$ を用いて算術的交差ペアリングを定式化し、ベイリンソン–ブローチペアリングを置き換える。
• 相対的トレース公式と局所予想（例：算術的基本的補題）を用いて、算術的交差数とL関数の導関数の特殊値との関係を確立する。
• Rapoport–Zink空間上の局所計算に還元することで、低次元におけるグローバル予想を証明し、アイゼンシュタイン条件とKottwitz条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PEL型シュイマ多様体と整数的モデルを用いて、AGGP予想をどのように再定式化できるか？
• RQ2 整数的モデル上の算術的交差数とL関数の特殊値との間の明確な関係は何か？
• RQ3 整数的モデル上で、ベイリンソン–ブローチの高さペアリングをwell-definedな算術的チャウペアリングに置き換えることは可能か？ その結果、グローバルな予想を定式化できるか？
• RQ4 標準的符号予想は、奇数次元コホモロジーに対するヘッケ–キュンネンプト投影子の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 どの低次元の場合に、整数的モデルと局所算術幾何学を用いて、グローバルAGGP予想を不変条件で証明できるか？

主な発見

• 著者らは、PEL型のユニタリ・シュイマ多様体のグローバルおよびセミグローバル整数的モデルを構成し、算術的交差理論の幾何的枠組みを提供した。
• 算術的チャウ群 $\widehat{CH}^d(X) \otimes \mathbb{Q}$ 上の算術的交差ペアリングがwell-definedであり、相対的トレース公式と整合的であることが示された。
• n ≤ 3 の場合、グローバルAGGP予想が不変条件で証明され、算術的交差数が臨界点における標準L関数の導関数と一致することが確立された。
• 局所モデル $M_{\mathrm{Res}_{L_0/K}GU(h),r,L}$ が $\mathrm{Spec}\, O_E$ に同型であることが示され、アイゼンシュタイン条件とKottwitz条件が整合的であり、非分岐の場合にはモジュライ問題が自明であることがわかった。
• 非分岐の場合、アイゼンシュタイン条件は不要であり、非分岐拡張によって誘導される分解により局所モデルは自明である。
• 符号予想を用いたヘッケ–キュンネンプト投影子の構成により、算術的ペアリングを奇数次元コホモロジーに制限でき、ヘッケ固有空間を用いたAGGP予想の定式化が可能になった。