[論文レビュー] The supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction

Haifeng Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、分岐素数における異常な良い還元を示すユニタリシャイマーヴァの超特異部分集合について、ラポルト＝ジンクス空間およびアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体を用いて群論的記述を提供する。超特異部分集合がブルア・ティツツの建物によって分類されるデリーニュ＝ルスティグ多様体の和集合であることが示され、次元が $[\frac{n-1}{2}]$ であることが証明され、その既約成分は $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 内の二重コセットによってパラメトライズされる。

ABSTRACT

In this paper, we use a group-theoretic approach to give a concrete description of the geometric structure of the supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction. This approach also is a more uniform way to prove results of this form obtained previously by, for example, Vollaard-Wedhorn and Rapoport-Terstiege-Wilson.

研究の動機と目的

• 異常な良い還元を示すユニタリシャイマーヴァの超特異部分集合の明確な幾何的記述を与えること。
• コクサター型シャイマーヴァの基本的部分集合に関する先行研究を統一的かつ一般化するための群論的フレームワークを構築すること。
• コクサター型のPEL型シャイマーヴァの基本的部分集合を一様に分析するための方法を確立すること。
• 超特異部分集合が純次元的であり、ブルア・ティツツの建物によって支配される閉包関係を持つデリーニュ＝ルスティグ多様体によって分類されることを証明すること。

提案手法

• ラポルト＝ジンクス空間および $p$-進均質化を用いて、超特異部分集合をアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体と関連付ける。
• 楔作用およびスピン条件を用いて、真の整数的モデル $\mathcal{A}^e$ を定義するトポロジカルに平坦な局所モデルを構成する。
• デューディエの理論を適用して、ラポルト＝ジンクス空間の $\overline{\mathbb{F}}_p$-点とアフィンデリーニュ＝ルスティグ多様体との間の全単射を確立する。
• ルスティグの分割と「核心的補題」を用いて、群側のデリーニュ＝ルスティグ多様体を、RZ側の開BT層にスキームとして同定する。
• デリーニュ＝ルスティグ多様体の閉包の正規性を活用し、ブルア・ティツツの建物を介して閉包関係を記述する。
• $p$-進均質化定理を用いて、超特異部分集合が、削減されたラポルト＝ジンクス空間の商の有限非交差和に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐素数における異常な良い還元を示すユニタリシャイマーヴァの超特異部分集合の幾何的構造は何か？
• RQ2 このようなシャイマーヴァの基本的部分集合を、群論的手法を用いて、さまざまな状況にわたって一様に記述することは可能か？
• RQ3 ユニタリシャイマーヴァ $\mathrm{Sh}_{C^p}(\mathbb{G},h)$ における $\mathrm{GU}(1,n-1)$ の場合、分岐素数における超特異部分集合の次元は何か？
• RQ4 超特異部分集合の既約成分および連結成分は、算術的データの観点からどのようにパラメトライズされるか？
• RQ5 ブルア・ティツツの建物は、超特異部分集合内の層の閉包関係をどのように支配するか？

主な発見

• 超特異部分集合 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ は純次元 $[\frac{n-1}{2}]$ を有する。
• $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ の既約成分は、二重コセット $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ と一対一対応する。
• $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ の連結成分は、$\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/J^0 \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ によってパラメトライズされ、ここで $J^0$ はキッティッツ不変量が自明な元からなる部分群である。
• $p$-進均質化準同型写像を介して、超特異部分集合は有限個の商 $\coprod_{i=1}^m \Gamma_i \backslash \mathcal{N}^{e}_{\mathrm{red}}$ の非交差和に同型である。
• $n$ が偶数のとき、真の整数的モデル $\mathcal{A}$ は $\mathcal{O}_{E_v}$ 上で平坦であり、この場合 $\mathcal{A}^e = \mathcal{A}$ である。
• 超特異部分集合 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ は、$\mathcal{A}^e$ の削減された特異ファイバーと一致する。すなわち、$\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}} = \mathcal{A}^{e,\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ である。