[論文レビュー] Arithmetic in big number fields: the '+Ideals' package

Jordi Guàrdia, Jesús Sanz Montes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

Magma用の+Idealsパッケージは、モンテスのアルゴリズムと高次ノイマン多角形を用いて整基底を避けることで、数体における効率的な算術を可能にし、高次元の体（例：次数1000）や大きな判別式（例：300桁）においても、標準的なハードウェアで秒単位で因数分解、付値計算、イデアル演算を高速に実行できる。従来は数日から数週間かかっていた計算が、今や秒単位で完了する。

ABSTRACT

We introduce our package '+Ideals' for Magma, designed to perform the basic tasks related to ideals in number fields without pre-computing integral bases. It is based on Montes algorithm and a number of local techniques that we have developed in a series of papers in the last years.

研究の動機と目的

• 大判別式または高次元の数体における従来のイデアル算術の計算不能性に対処する。
• 実世界の代数的数論の問題においてしばしば実行不可能な整基底の計算というボトルネックを克服する。
• 整数環ではなく素イデアルを中心とした計算フレームワークを構築し、スケーラブルで効率的なアルゴリズムを実現する。
• 整基底の事前計算なしに、イデアル因数分解、付値、還元、中国剰余定理といった基本的演算をサポートする実用的なMagmaパッケージを提供する。
• 従来のMagmaルーチンとの後方互換性を保ちつつ、PrimeIdealRecordおよびIdealRecordといった新しいデータ型を拡張する。

提案手法

• モンテスのアルゴリズムを活用し、整基底を必要とせずに、有理素数の局所的因数分解データを数体で計算する。
• 高次ノイマン多角形を用いて、素イデアルの分解を分析し、局所的情報を効率的に抽出する。
• 分数イデアルを表すために新しいMagmaデータ型（PrimeIdealRecordおよびIdealRecord）を導入し、関連属性を格納する。
• Factorization、TwoElement、CRTなどの標準Magma関数の拡張版を実装し、新しいイデアル記録上で動作させる。
• 計算済みの素イデアルデータ（例：因数分解、局所インデックス）を数体の属性（例：K`FactorizationString、K`LocalIndex）に格納し、再利用を可能にする。
• pIntegralBasis、SIntegralBasis、IntegralBasis関数を用いて整基底の計算をサポートし、検証チェックを伴うモンテスに基づくアルゴリズムを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元または高判別式の数体において、整基底の計算なしにイデアル算術を効率的に行うことは可能か？
• RQ2 モンテスのアルゴリズムとノイマン多角形技術は、計算代数的数論における従来の整基底依存手法にどの程度置き換え可能か？
• RQ3 素イデアルを計算の中心的対象として用いることで、因数分解、付値、還元などの演算をどのように簡素化できるか？
• RQ4 大規模な数体を扱う実用的状況において、整基底計算を回避することで得られる性能向上はどの程度か？
• RQ5 モンテスに基づくアルゴリズムを用いて信頼性の高い整基底計算が達成可能か？また、このようなアルゴリズムを汎用計算システムにどのように統合できるか？

主な発見

• +Idealsパッケージは、300桁の判別式を持つ次数1000の数体において、標準コンピュータで1.3秒未満でイデアル因数分解を実行した。
• 定数項が500ビットの次数100の多項式で定義される数体において、有理素数2の素イデアル因数分解を1.3秒で計算した。
• 同じ数体における素数2の局所インデックスは12,250に計算され、非常に分岐が強い拡大であることが示された。
• モンテスに基づくアルゴリズムを用いて整基底を正しく計算し、検証チェックにより正しさを保証した。
• 中国剰余定理の演算が、PrimeIdealRecordおよびIdealRecord型に対応するように拡張され、効率的な合同式の解法が可能になった。
• CreateRandomTypeやCombinePolynomialsWithDifferentPrimesといった関数を用いて、所望の型を持つ難易度の高い数体を構築でき、アルゴリズムの制御されたテストが可能になった。