[論文レビュー] Aspects of line operators of class S theories

Dan Xie|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、リーマン面における閉曲線およびウェブを用いて、4次元 $\sigma=2$ クラス $\mathcal{S}$ 理論におけるライン演算子の幾何的分類を確立する。Dehn-Thurston座標を介して、それらをウィルソン-’t Hooフト演算子と関連づける。クラスター座標を用いてディラック積と相互局所性条件を定義し、OPEの閉包、相互局所性、最大性によって許容されるライン演算子を分類する。異なるゲージ群および離散的 $\theta$ 角度は、幾何的データにおける異なる選択から生じ、マッピングクラス群作用を通じてSおよびT双対性がこれらの理論を関連付ける。

ABSTRACT

Geometric picture of line operators of N=2 class S theories was found by imposing closure condition on operator product expansion (OPE) of line operators. In this paper, we first identify the geometric representation of ordinary Wilson-'t Hooft line operators of field theory, and study duality action on them. We further define a Dirac product between line operators and classify the allowed set of line operators by requiring: a: closure of OPE; b: mutual locality; c: maximality. Using above classifications, we find many distinct gauge theories associated with a single duality frame, and show explicitly that new possibilities correspond to the choice of global form of gauge group and discrete theta angles. We also study S and T duality actions relating those theories. In particular, we find very interesting duality webs for Maldacena-Nunez theory.

研究の動機と目的

• 弱い結合定数の双対性フレームにおいて、リーマン面上の閉曲線を用いてクラス $\mathcal{S}$ 理論におけるウィルソン-’t Hooフトライン演算子の幾何的表現を同定すること。
• クラスター座標およびホモロジー類を用いて、ライン演算子間のディラック積と相互局所性条件を定義すること。
• OPEの閉包、相互局所性、最大性を要請することで許容されるライン演算子を分類し、それらをゲージ群のグローバル形式および離散的 $\theta$ 角度に関連付けること。
• SおよびT双対性作用がライン演算子に与える影響を調べ、異なるグローバル構造および $\theta$ 角度を持つゲージ理論をどのように関連付けるかを明らかにすること。
• 複数のゲージ群およびファンダメンタルなマターを持つ理論へ、$\theta$ 角度および双対性に関する先行研究を一般化すること。

提案手法

• 弱い結合定数の双対性フレームにおいて、閉曲線上のDehn-Thurston座標を用いて、ウィルソン-’t Hooフトライン演算子を幾何的に表現する。
• ディラック積を $<L_1, L_2> = -\sum_k x_{1k} a_{2k}$ として定義する。ここで $x$ および $a$ はトロピカルクラスター座標である。
• ホモロジー類の交差形式に関する条件として相互局所性を表現し、ホモロジー理論を用いて分類を簡略化する。
• 演算子積展開（OPE）の閉包および最大性の制約を適用して、許容されるライン演算子集合を分類する。
• リーマン面上のマッピングクラス群作用（SおよびT双対性）を用いて、異なるグローバル形式および $\theta$ 角度を持つゲージ理論を関連付ける。
• genus 2 の場合を解析することで、$\theta$ 角度の間の独立でない関係が、双対性群の構造に起因することを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス $\mathcal{S}$ 理論におけるウィルソン-’t Hooフトライン演算子は、リーマン面上の閉曲線を用いてどのように幾何的に実現可能か？
• RQ2 ライン演算子間のディラック積の幾何的・代数的定義は何か？また、ホモロジー交差形式とどのように関係するか？
• RQ3 OPEの閉包、相互局所性、最大性が、クラス $\mathcal{S}$ 理論における許容されるライン演算子集合に与える制約は何か？
• RQ4 リーマン面上の幾何的データから、異なるゲージ群のグローバル形式および離散的 $\theta$ 角度がどのように生じるか？
• RQ5 双対性群（マッピングクラス群）は、$\theta$ 角度の可能な値を制約し、異なるゲージ理論をどのように関連付けるか？

主な発見

• ウィルソン-’t Hooフトライン演算子は、リーマン面上の閉曲線として幾何的に実現され、その量子数はDehn-Thurston座標に符号化されている。
• ライン演算子間のディラック積は、トロピカルクラスター座標を介して定義され、それらのホモロジー類の交差形式に対応する。
• 相互局所性は交差形式がゼロであることに等しく、この条件はクラスター変換に対して不変であるため、双対性フレーム間で一貫性が保たれる。
• OPEの閉包、相互局所性、最大性による分類により、許容されるライン演算子の集合は、ゲージ群のグローバル形式および離散的 $\theta$ 角度を一意に決定する。
• 異なるグローバル形式および $\theta$ 角度を持つゲージ理論は、SおよびT双対性作用によって関連づけられ、それらはリーマン面上のマッピングクラス群作用として作用する。
• genus 2 の理論では、$\theta$ 角度の選択は独立ではない。複雑な関係が、双対性群の構造に符号化されている。