[論文レビュー] Network, cluster coordinates and N = 2 theory II: Irregular singularity

Dan Xie|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、6次元$(2,0)$理論の compactification からの幾何的データを用いて、不規則特異点と正則特異点をもつ境界付きリーマン面におけるストークス現象とネットワーク構成を用いて、$υ=2$のアーギュレス＝ダウグラー理論および漸近的に自由な理論の広いクラスのクラスター座標とクイバーの変異同値類を構成する。三角形分割された円板上でのヤング盤によるストークスデータの符号化により、変異同値なクイバーをもつ最小の二部ネットワークが得られ、BPSスペクトル、ウォールクロッシング、線型オペレーターの研究に組み合わせ的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Cluster coordinates for a large class of Argyres-Douglas and asymptotical free theories are constructed using network on bordered Riemann surface. Such N = 2 theories are engineered using six dimensional (2, 0) theory on Riemann surface with irregular and regular singularities. The Stokes phenomenon plays an important role in our construction. Our results are expected to be very useful in studying BPS spectrum, wall crossing, and line operators of these theories, etc. In particular, we conjecture that the quiver from the network is the BPS quiver. Moreover, our construction provides a simple way to build the minimal network for cells of positive Grassmannia .

研究の動機と目的

• 6次元$(2,0)$理論の compactification からの幾何的データを用いて、$υ=2$のアーギュレス＝ダウグラー理論および漸近的に自由な理論の広いクラスのクラスター座標を構築すること。
• ストークス現象とヤング盤によるラベル付けを介して不規則特異点データからクイバーの変異同値類を系統立てて導出する方法を確立すること。
• BPSクイバーの特定とウォールクロッシング、線型オペレーターのスペクトルの研究を可能にする組み合わせ的枠組みを提供すること。
• 構築されたネットワークが最小的であり、グラスマン多様体$G(k,n)$の正のセルを記述することを示し、散乱振幅および可積分系と関連付けること。

提案手法

• $υ=2$理論を、不規則特異点と正則特異点をもつリーマン面上での$A_{k-1}$ $(2,0)$理論の compactification としてモデル化する。
• 不規則特異点をもつ平坦接続からのストークスデータを用いて、ユニポテンツストークス行列を定義し、ヤング盤によってラベルづけを行う。
• 不規則特異点をヤング盤でラベルづけられたマーク付き点をもつ円板に吹き増し、これらのラベルに巡回順序を課す。
• 穴のタイプとヤング盤に基づく辺の装飾をもつ、円板の三角形分割からドット図と二部ネットワークを構成する。
• 三角形のタイリングと貼り合わせを用いてネットワークからクイバーを導出し、最小多角形を用いて最小性を保証する。
• ネットワークの動き（例：正方形移動）から得られるクイバーの変異列を用いて、変異不変量を同定し、変異同値性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則特異点データを用いて、$υ=2$アーギュレス＝ダウグラー理論および漸近的に自由な理論のクラスター座標を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 ヤング盤によるストークスデータ（ヤング盤）と得られるクイバーの変異同値類との間の明確な組み合わせ的関係は何か？
• RQ3 構築されたネットワークが$G(k,n)$の正のセルを記述できることを証明できるか？ これは散乱振幅とどのように関連するか？
• RQ4 ネットワーク構造から得られるクイバーの変異列は、BPSスペクトルとウォールクロッシング現象の研究をどのように促進するか？
• RQ5 ネットワークに基づくクラスター座標は、線型オペレーターの期待値やセイバーグ＝ウィッテン可積分系といった物理的不変量をどの程度正確に捉えられるか？

主な発見

• ネットワーク構成から得られるクイバーは、対応する$υ=2$理論のBPSクイバーであると予想され、幾何とBPSスペクトルとの直接的な関係を示す。
• 構築されたネットワークは最小的であり、$G(k,n)$の正のセルを記述しており、このようなセルの新しい幾何的実現を提供する。
• 同じ物理的理論をもたらす不規則特異点と正則特異点の異なる幾何的配置は、同じ変異同値類に属するクイバーを生じ、この構成の整合性を確認する。
• この方法により、変異無限クイバーに対しては非自明な課題であるが、元のクイバーに戻るクイバーの変異列を明示的に特定できる。
• ネットワーク構成はポisson構造とクラスター可積分系を支持しており、量子化はネクラーソフ分配関数に関連する。
• ネットワーク上の境界測定値は正方形移動に対して不変であり、線型オペレーターの期待値を計算すると予想され、フレームドBPS状態の数え上げと関連する。