[論文レビュー] Aspherical manifolds, Mellin transformation and a question of Bobadilla-Koll\'{a}r

Yongqiang Liu, Laurenţiu Maxim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲的でない射影的多様体に対するBobadilla-Kollár 問題の整数および有理数係数ホモロジー版に対して肯定的な答えを提示する：射影的多様体の普遍被覆が可縮であり、かつ普遍被覆の引き戻しが有限CW複体とホモトピー同値であるならば、その写像はZ-またはQ-ホモロジー・ファイバー・バンドルである。証明にはメリン変換、 perverse ホモロジー層、およびチャーン類の正則性が用いられ、特にアーベル・多様体およびコンパクト・ボール商に対して主要な結果が得られる。

ABSTRACT

In their 2012 paper, Bobadilla and Koll\'ar studied topological conditions which guarantee that a proper map of complex algebraic varieties is a topological or differentiable fibration. They also asked whether a certain finiteness property on the relative covering space can imply that a proper map is a fibration. In this paper, we answer positively the integral homology version of their question in the case of abelian varieties, and the rational homology version in the case of compact ball quotients. We also propose several conjectures in relation to the Singer-Hopf conjecture in the complex projective setting.

研究の動機と目的

• 本稿は、相対被覆空間の有限性条件が、固有な正則写像がホモトピー的またはホモロジー的ファイバー・バンドルであることを示すか否かを調査する。
• 本稿は、双曲的多様体の文脈において、整数および有理数係数ホモロジー版の Bobadilla-Kollár 問題を扱う。
• 本稿の目的には、アーベル・多様体およびコンパクト・ボール商に対して、ホモロジー的有限性条件が写像がZ-またはQ-ホモロジー・ファイバー・バンドルであることを示すことを含む。
• 本研究は、位相的有限性条件とファイブレーション構造との間の関係を確立することを目的とし、Singer-Hopf予想への影響を含む。
• 本稿は、双曲的射影的多様体上の perverse ホモロジー層への Singer-Hopf 予想の一般化を提案する。

提案手法

• 著者たちは、普遍被覆のホモトピー型と底空間のコホモロジーとを関係付ける非アーベル的メリン変換を用いる。
• 彼らは分解定理およびアンピールベクトル束のチャーン類の正則性結果を適用して、写像のコホモロジー的性質を分析する。
• perverse ホモロジー層および導来カテゴリの理論を用いて、直接像複体が局所定数である条件を特徴付ける。
• アーベル・多様体の場合、特徴的サイクルおよびアーベル・多様体の幾何学を用いて、メリン変換の重要な非消滅性を証明する。
• 証明は、アーベル・多様体の普遍被覆がシュファレヴィチ予想のもとでシュタイン多様体であるという事実に依拠する。
• 議論は、複素幾何、代数的トポロジー、および表現論（特に正標数において）を統合的に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全空間の普遍被覆の有限性が、底空間がアーベル・多様体である場合に、固有な正則写像がZ-ホモロジー・ファイバー・バンドルであることを示すか？
• RQ2 同様の有限性条件が、底空間がコンパクト・ボール商または一般に余接 bundle がアンピールである双曲的射影的多様体である場合に、Q-ホモロジー・ファイバー・バンドルを示すか？
• RQ3 Singer-Hopf 予想を双曲的射影的多様体上の perverse ホモロジー層へ一般化できるか？
• RQ4 シュファレヴィチ予想は、双曲的射影的多様体の普遍被覆がシュタイン多様体であることを示唆するか？
• RQ5 すべての双曲的射影的多様体の基本群は、有限次元の忠実な線形表現をもつか？

主な発見

• アーベル・多様体に対して、整数係数の Bobadilla-Kollár 問題は肯定的に解決された：全空間の普遍被覆が有限CW複体とホモトピー同値であるならば、アーベル写像はZ-ホモロジー・ファイバー・バンドルである。
• コンパクト・ボール商や余接 bundle がアンピールである双曲的射影的多様体に対して、有理数係数の Bobadilla-Kollár 問題は肯定的に解決された。
• 双曲的射影的多様体の普遍被覆には、正の次元をもつコンパクトな解析的部分多様体を含まない。これはシュファレヴィチ予想を支持する。
• シュファレヴィチ予想は、双曲的射影的多様体の普遍被覆がシュタイン多様体であることを示し、Singer-Hopf 予想の一般化への重要な一歩である。
• 本稿では、アーベル・多様体上でメリン変換が非消滅することを証明し、これは整数係数の場合の重要な技術的結果である。
• 著者たちは、双曲的射影的多様体上の任意の perverse ホモロジー層のオイラー標数が非負であることを示し、Singer-Hopf 予想を一般化した。