[論文レビュー] Association schemes, non-commutative polynomial concentration, and sum-of-squares lower bounds for planted clique

Raghu Meka, Avi Wigderson|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、和の平方（SOS）階層における植え付けクリーク問題の最初の非自明な下界を確立し、rラウンドのSOSが問題を解けるのは、植え付けクリークサイズtが√n/(C log n)^r²を超過する場合に限ることを示している。証明は、関連スキームと、行列多項式の大偏差不等式の新規な定理を活用し、グラフから導出されるランダム行列が高確率で半正定値であることを示している。これにより、現在のSOSベースのアルゴリズムに対する障壁が確立される。

ABSTRACT

Finding cliques in random graphs and the closely related "planted" clique variant, where a clique of size t is planted in a random G(n,1/2) graph, have been the focus of substantial study in algorithm design. Despite much effort, the best known polynomial-time algorithms only solve the problem for t = Theta(sqrt(n)). Here we show that beating sqrt(n) would require substantially new algorithmic ideas, by proving a lower bound for the problem in the sum-of-squares (or Lasserre) hierarchy, the most powerful class of semi-definite programming algorithms we know of: r rounds of the sum-of-squares hierarchy can only solve the planted clique for t > sqrt(n)/(C log n)^(r^2). Previously, no nontrivial lower bounds were known. Our proof is formulated as a degree lower bound in the Positivstellensatz algebraic proof system, which is equivalent to the sum-of-squares hierarchy. The heart of our (average-case) lower bound is a proof that a certain random matrix derived from the input graph is (with high probability) positive semidefinite. Two ingredients play an important role in this proof. The first is the classical theory of association schemes, applied to the average and variance of that random matrix. The second is a new large deviation inequality for matrix-valued polynomials. Our new tail estimate seems to be of independent interest and may find other applications, as it generalizes both the estimates on real-valued polynomials and on sums of independent random matrices.

研究の動機と目的

• 和の平方（SOS）階層における植え付けクリーク問題の最初の非自明な下界を確立すること。
• √nの閾値を超えて、SOSアルゴリズムが植え付けクリーク問題を解くことの限界を理解すること。
• 実数多項式と独立なランダム行列の尾部バウンドを一般化する、行列値多項式の新しい大偏差不等式を構築すること。
• 関連スキームの理論を用いて、SOS証明系におけるランダム行列の平均と分散を分析すること。
• SOS次数が有界なアルゴリズムが、t = o(√n / (log n)^r²のとき植え付けクリークを解くことができないことを示し、根本的なアルゴリズム的障壁を明らかにすること。

提案手法

• 植え付けクリーク問題を、SOS階層に等価なポジティブステルンザット代数的証明系における次数下界として定式化する。
• 入力グラフから導出されるランダム行列を構築し、その半正定値性が植え付けクリーク問題の解を示すことを示す。
• 古典的な関連スキーム理論を用いて、このランダム行列の期待値と分散を計算する。
• 実数多項式の集中と独立なランダム行列の尾部バウンドを一般化する、行列値多項式の新しい大偏差不等式を構築する。
• 新規な尾部バウンドを用いて、期待値からの乖離を抑え、ランダム行列が高確率で半正定値であることを証明する。
• 必要な多項式恒等式が成立しないことを示すことにより、任意のr次SOS証明はt < √n / (C log n)^r²のとき失敗することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和の平方階層における植え付けクリーク問題に対して、非自明な下界を確立できるか？
• RQ2 rラウンドのSOS階層が植え付けクリーク問題を解ける最小のクリークサイズtは何か？
• RQ3 関連スキームは、SOS証明に現れるランダム行列の平均と分散をどのように分析できるか？
• RQ4 実数多項式と独立なランダム行列の和の既存のバウンドを一般化する、行列値多項式の新しい大偏差不等式を構築できるか？
• RQ5 グラフから導出されるランダム行列のどのような構造的性質が、低次のSOS証明の失敗を防ぐか？

主な発見

• この論文は、ある定数Cに対して、rラウンドの和の平方階層が、クリークサイズtが√n / (C log n)^r²未満のとき植え付けクリーク問題を解くことができないことを確立している。
• これは、SOS階層における植え付けクリーク問題の最初の非自明な下界であり、SOSの限界に関する理解の大きな空白を埋めている。
• 証明は、グラフから導出されるあるランダム行列が高確率で半正定値であることを示すことに依存しており、これはSOS証明が成功するための鍵となる。
• 実数多項式の集中と独立なランダム行列の和の両方を一般化する、行列値多項式の新しい大偏差不等式が開発された。
• 関連スキームの使用により、ランダム行列の期待値と分散の正確な計算が可能となり、分析の重要な構成要素となった。
• この結果は、√nの閾値を打ち破るためには、SOSフレームワークでさえも、著しく新しいアルゴリズム的アイデアが必要であることを示唆している。