[論文レビュー] Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth rate for a jump-type CIR process based on continuous time observations

Mátyás Barczy, Mohamed Ben Alaya+2 more|SZTE Publicatio Repozitórium (University of Szeged)|Sep 19, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ウィener過程とサブオーダレーターによって駆動されるジャンプ型コックス・インガーソル・ローズ（CIR）過程における成長率パラメータ $ b $ の最尤推定量（MLE）の漸近的性質を、連続時間観測に基づいて確立する。下臨界状態（$ b > 0 $）では弱一致性および漸近的正規性が得られ、上臨界状態（$ b < 0 $）では強一致性および混合正規漸近挙動が示され、臨界状態（$ b = 0 $）では非標準的挙動を示す。上臨界状態における極限分布の新しい確率的表現も得られている。

ABSTRACT

We consider a jump-type Cox--Ingersoll--Ross (CIR) process driven by a standard Wiener process and a subordinator, and we study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for its growth rate. We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical. In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality, and, under an additional moment assumption, strong consistency as well. In the supercritical case, we prove strong consistency and mixed normal (but non-normal) asymptotic behavior, while in the critical case, weak consistency and non-standard asymptotic behavior are described. We specialize our results to so-called basic affine jump-diffusions as well. Concerning the asymptotic behavior of the MLE in the supercritical case, we derive a stochastic representation of the limiting mixed normal distribution, where the almost sure limit of an appropriately scaled jump-type supercritical CIR process comes into play. This is a new phenomenon, compared to the critical case, where a diffusion-type critical CIR process plays a role.

研究の動機と目的

• 連続時間観測下におけるジャンプ型CIR過程の成長率パラメータ $ b $ の最尤推定量（MLE）の漸近的挙動を研究すること。
• サブオーダレーターを用いたジャンプダイナミクスの導入により、既存のMLE漸近理論を拡張し、古典的拡散型CIR過程を一般化すること。
• 下臨界状態（$ b > 0 $）、臨界状態（$ b = 0 $）、上臨界状態（$ b < 0 $）の三つの異なる状況を区別し、それぞれの状態におけるMLEの極限分布を同定すること。
• 上臨界状態における極限混合正規分布の確率的表現を提供すること。この表現は、適切にスケーリングされたジャンプ型CIR過程の概収束極限を含む。
• 金融モデリングで広く用いられる基本的アフィンジャンプ拡散（BAJDs）に結果を特殊化すること。

提案手法

• ジャンプ型CIR過程を、既知のパラメータ $ a $, $ \sigma $, レヴィ測度 $ m $ と未知のパrameter $ b $ を持つウィener過程とサブオーダレーターによって駆動されるストキャスティック微分方程式（SDE）としてモデル化する。
• Girsanov定理と局所マルティンゲール技術を用いて、尤度比からMLEを導出し、尤度はドリフトおよび拡散成分にのみ依存することを確認する。
• 漸近的解析には、連続局所マルティンゲールに関する極限定理（特に強大数法則および多変量連続局所マルティンゲールの分布収束）を用いる。
• 上臨界状態では、極限混合正規分布の新しい確率的表現を導出する。この極限は、適切にスケーリングされたジャンプ型CIR過程の概収束極限を含む。
• $ b $ の符号に基づき三つの状態に分類する：下臨界（$ b > 0 $）、臨界（$ b = 0 $）、上臨界（$ b < 0 $）。各状態には異なる漸近的道具が必要となる。
• 微分積分幾何学的技法（二次変動、局所時刻、ラプラス変換など）を厳密に適用し、MLEおよびその漸近的挙動の明示的表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間サンプリング下におけるジャンプ型CIR過程の成長率 $ b $ のMLEの漸近的性質は何か？
• RQ2 サブオーダレーター（ジャンプ成分）の導入は、古典的拡散型CIR過程と比較してMLEの極限分布にどのように影響を与えるか？
• RQ3 上臨界状態（$ b < 0 $）における極限分布の性質は何か？また、この分布はプロセス自体の観点から確率的に表現可能か？
• RQ4 臨界状態（$ b = 0 $）は、下臨界および上臨界状態と比較して、漸近的挙動においてどのように異なるか？
• RQ5 結果は基本的アフィンジャンプ拡散（BAJDs）に特殊化可能か？金融モデリングにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 下臨界状態（$ b > 0 $）では、MLEは弱一貫的であり、漸近的に正規分布に従う。さらに、追加のモーメント条件のもとで強一貫性も成立する。
• 上臨界状態（$ b < 0 $）では、MLEは強一貫的であり、混合正規分布に分布収束する。この極限分布には、スケーリングされたジャンプ型CIR過程の概収束極限を含む新しい確率的表現が存在する。
• 臨界状態（$ b = 0 $）では、MLEは弱一貫的であるが、正規分布および混合正規分布とは異なる非標準的漸近挙動を示す。
• 上臨界状態における極限混合正規分布は、ジャンプ型CIR過程の長期的挙動から生じる確率的分散成分を特徴付ける。
• Mai（2016）の先行研究を補正し、尤度比およびMLEの表現式を修正するとともに、エルゴード性の仮定を不要にした。
• MLEの推定には $ \sigma $ やレヴィ測度 $ m $ の知識を必要としないため、実務における推定が簡素化される。