[論文レビュー] Asymptotic Results on Adaptive False Discovery Rate Controlling Procedures Based on Kernel Estimators

Pierre Neuvial|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、p値密度を1で推定するためのカーネル推定量を用いた、適応的かつ発散率（FDR）を制御する手続きを研究している。この手続きにより、漸近的パワーが向上し、FDRの制御がより厳密になる。しかし、p値密度の滑らかさを反映するパrameter $k$ に依存した、$m^{-k/(2k+1)}$ の非パラメトリック収束速度が遅くなる。

ABSTRACT

The False Discovery Rate (FDR) is a commonly used type I error rate in multiple testing problems. It is defined as the expected False Discovery Proportion (FDP), that is, the expected fraction of false positives among rejected hypotheses. When the hypotheses are independent, the Benjamini-Hochberg procedure achieves FDR control at any pre-specified level. By construction, FDR control offers no guarantee in terms of power, or type II error. A number of alternative procedures have been developed, including plug-in procedures that aim at gaining power by incorporating an estimate of the proportion of true null hypotheses. In this paper, we study the asymptotic behavior of a class of plug-in procedures based on kernel estimators of the density of the $p$-values, as the number $m$ of tested hypotheses grows to infinity. In a setting where the hypotheses tested are independent, we prove that these procedures are asymptotically more powerful in two respects: (i) a tighter asymptotic FDR control for any target FDR level and (ii) a broader range of target levels yielding positive asymptotic power. We also show that this increased asymptotic power comes at the price of slower, non-parametric convergence rates for the FDP. These rates are of the form $m^{-k/(2k+1)}$, where $k$ is determined by the regularity of the density of the $p$-value distribution, or, equivalently, of the test statistics distribution. These results are applied to one- and two-sided tests statistics for Gaussian and Laplace location models, and for the Student model.

研究の動機と目的

• p値密度を1で推定するためのカーネル推定量を用いた、適応的FDR制御手続きの漸近的挙動を調査すること。
• テスト数が増加する条件下で、標準的なBenjamini-Hochberg手続きと比較して、このような手続きがより高いパワーを示すかどうかを評価すること。
• 偽発見数割合（FDP）の収束速度と、増大する漸近的パワーのトレードオフを定量化すること。
• カーネルに基づくプラグイン推定量 $\hat{\pi}_0$（帰無仮説の割合の推定）が、大規模な多重仮説検定において有効なFDR制御を達成するための条件を確立すること。
• FDPの収束速度を、p値密度の滑らかさに結びつけて導出すること。

提案手法

• p値密度を1で非パラメトリックに推定するためのカーネル推定量を用い、$\pi_0$（帰無仮説の割合）を推定する。
• 標準的なBenjamini-Hochberg手続きをレベル $\alpha / \hat{\pi}_0$ で適用し、適応的FDR制御を達成する。
• 収束確率が $\pi_{0,\infty} \geq \pi_0$ に近づくという仮定の下で、FDPの漸近的分布をデルタ法を用いて分析する。
• FDPの収束速度を $m^{-k/(2k+1)}$ と導出する。ここで $k$ はp値密度のホルダー正則性に由来し、テスト統計量の分布の滑らかさを反映する。
• 尤度比 $f_1/f_0$ が0近傍で正則性を満たす条件下で、手続きの一貫性と純粋性を確立する。特に、正規分布やラプラス分布などの対称モデルで有効である。
• 結果を正規分布、ラプラス分布、スルーデントt分布における片側および両側検定に適用し、$g_1(t)$（対立仮説下でのp値密度）の正則性条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーネルに基づく密度推定を用いた $\pi_0$ の推定は、標準的なBenjamini-Hochberg手続きと比較して、漸近的により厳密なFDR制御を達成するか？
• RQ2 このような適応的手続きは、標準的なBH手続きと比較して、より広い範囲の目標FDRレベルで正の漸近的パワーを達成できるか？
• RQ3 このようなカーネルに基づく適応的手続きにおける偽発見数割合（FDP）の収束速度はいかほどか？
• RQ4 p値密度の滑らかさ（ホルダー正則性で測定）が、FDPの収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 テスト統計量分布（例：対称性、尤度比の正則性）にどのような条件下で、これらの手続きがFDR制御と漸近的パワーを維持できるか？

主な発見

• カーネルに基づく適応的FDR手続きは、任意の目標FDRレベル $\alpha$ に対して、標準的なBenjamini-Hochberg手続きよりも漸近的により厳密なFDR制御を達成する。
• この手続きは、標準的なBH手続きと比較して、正の漸近的パワーを達成できる目標FDRレベルの範囲が広がっている。
• カーネルに基づく手続きにおけるFDPの収束速度は $m^{-k/(2k+1)}$ であり、$k$ はp値密度のホルダー正則性指数であり、非パラメトリックな遅い収束を反映している。
• FDPの漸近的分布は正規分布であり、分散は $w^2 = s_0^2 \pi_0^2 \alpha^2 / \pi_{0,\infty}^4$ で与えられ、デルタ法により導出されたものである。
• 対称モデル（例：正規分布、ラプラス分布）における両側検定では、対立仮説下でのp値密度 $g_1(t)$ は $t=1$ で微分可能であり、$f_1/f_0$ に追加の滑らかさ仮定があると2階微分可能である。
• 尤度比 $f_1/f_0$ が0で微分可能であることは、$g_1(t)$ が $t=1$ で微分可能であることを保証し、FDPの漸近的正規性に不可欠である。