[論文レビュー] Asymptotically cylindrical Calabi-Yau manifolds

Mark Haskins, Hans‐Joachim Hein+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素次元 $ n > 2 $ の任意の完全で非コンパクト、漸近的に円筒型のCalabi-Yau多様体が、ある射影的オルビフォールドコンパクト化におけるねじれ正規束をもつ除集合の補集合として実現されることを確立している。著者らは、指数的漸近的円筒型Calabi-Yau計量の存在と一意性を示す短く自己完備な証明を提供し、長年の複素幾何学における未解決問題を解決するとともに、詳細な漸近的計量解析とオルビフォールドコンパクト化技術を用いた新しい手法を提示している。

ABSTRACT

Let $M$ be a complete Ricci-flat Kahler manifold with one end and assume that this end converges at an exponential rate to $[0,\infty) imes X$ for some compact connected Ricci-flat manifold $X$. We begin by proving general structure theorems for $M$; in particular we show that there is no loss of generality in assuming that $M$ is simply-connected and irreducible with Hol$(M)$ $=$ SU$(n)$, where $n$ is the complex dimension of $M$. If $n > 2$ we then show that there exists a projective orbifold $\bar{M}$ and a divisor $\bar{D}$ in $|{-K_{\bar{M}}}|$ with torsion normal bundle such that $M$ is biholomorphic to $\bar{M}\setminus\bar{D}$, thereby settling a long-standing question of Yau in the asymptotically cylindrical setting. We give examples where $\bar{M}$ is not smooth: the existence of such examples appears not to have been noticed previously. Conversely, for any such pair $(\bar{M}, \bar{D})$ we give a short and self-contained proof of the existence and uniqueness of exponentially asymptotically cylindrical Calabi-Yau metrics on $\bar{M}\setminus\bar{D}$.

研究の動機と目的

• 漸近的に円筒型の設定における完全なリッチ平坦ケーラー多様体の複素解析的コンパクト化に関して、ヨウが提起した長年の未解決問題を解消すること。
• 一般のティアン＝ヨウの枠組みに依存しない、指数的漸近的円筒型Calabi-Yau計量の存在と一意性を示す短く自己完備な証明を提供すること。
• 任意の複素次元 $ n > 2 $ のこのような多様体が、射影的オルビフォールドコンパクト化におけるねじれ正規束をもつ除集合の補集合としてbiholomorphicに同型であることの確立。
• コhomologicalまたは代数的メソッドではなく、無限遠におけるリッチ平坦計量の詳細な漸近的制御を用いた、コンパクト化の新しいアプローチの開発。

提案手法

• 任意の漸近的に円筒型のリッチ平坦ケーラー多様体が、有限被覆をとることとコンパクト因子を分離することで、単連結かつ非可縮でホロノミー $ { m SU}(n) $ をもつものにとることができる、ことを証明する。
• 漸近的円筒 $ [0,\frown\text{infty}) \times X $ が $ \mathbb{R} \times \mathbb{S}^1 \times D $ に有限被覆をとることで分解可能であり、$ D $ はコンパクトなリッチ平坦ケーラー多様体であることを示す。
• 計量の指数的収束を用いて、漸近的円筒の構造を活用し、多様体 $ M $ の自然なオルビフォールドコンパクト化を構成する。
• 重み付きソボレフ推定と連続性法を用いて、指数的減衰をもつリッチ平坦ケーラー計量のティアン＝ヨウ存在定理の精密化版を適用する。
• アニュラス領域およびチューブ領域におけるケーラー潜在関数および曲率成分の詳細な漸近的展開を用いて、線形化方程式における誤差項を制御する。
• モデル円筒上の $ \partial\bar{\partial} $-lemma と重み付き $ L^2 $-推定を用いて、所望の漸近的挙動をもつ複素マソン＝アーマー方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全で非コンパクト、漸近的に円筒型のCalabi-Yau多様体（複素次元 $ n > 2 $）は、ねじれ正規束をもつ除集合の補集合として、ある射影的オルビフォールドに実現可能か？
• RQ2 一般のティアン＝ヨウの枠組みに依存せず、指数的漸近的円筒型Calabi-Yau計量の存在と一意性を示す短く自己完備な証明は可能か？
• RQ3 リッチ平坦ケーラー多様体の漸近的円筒構造は、特定の位相的・幾何的コンパクト化構造を示唆するか？
• RQ4 コンパクト化が滑らかでない場合でも、漸近的計量挙動を用いて標準的なオルビフォールドコンパクト化を構成可能か？

主な発見

• 任意の完全で非コンパクト、漸近的に円筒型のCalabi-Yau多様体（複素次元 $ n > 2 $）は、$ \overline{M} \setminus \overline{D} $ にbiholomorphicに同型であり、ここで $ \overline{M} $ は射影的オルビフォールド、$ \overline{D} \in |{-K_{\overline{M}}}| $ はねじれ正規束をもつ。
• 漸近的円筒 $ [0,\infty) \times X $ は、$ \mathbb{R} \times \mathbb{S}^1 \times D $ に有限被覆をとることで分解可能であり、$ D $ はコンパクトなリッチ平坦ケーラー多様体である。これにより、標準的なオルビフォールドコンパクト化が可能になる。
• 著者らは、重み付き推定と連続性法を用いて、$ \overline{M} \setminus \overline{D} $ 上の指数的漸近的円筒型Calabi-Yau計量の存在と一意性を示す短く自己完備な証明を構築した。
• 本稿は、コンパクト化 $ \overline{M} $ が滑らかでない例を明示的に提示しており、これは従来の文献で気づかれていなかった現象である。
• ケーラー潜在関数の漸近的展開における誤差項が $ O((r+s|\log r|)|\log r|) $ として衰えることが示され、指数的収束が確認された。
• モデル円筒上での $ \partial\bar{\partial} $-作用素の重み付き $ L^2 $-推定は、指数的減衰をもつ複素マソン＝アーマー方程式の解に対する制御を可能にする。