[論文レビュー] Complete Calabi-Yau metrics from P^2 # 9 \bar P^2

Hans‐Joachim Hein|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 64被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、三次曲線の線型系の9個の基本点をℙ²で blown up して得られる有理楕円曲面におけるファイバーの補集合上に、完全なリッチ平坦ケーラー計量を構成する。Tian-YauのPDE法を用い、Gross-Wilsonのアイデアを踏まえたアンザッツを採用することで、ほとんどのde Rhamコホロロジー類において存在を証明し、ファイバーのモノドロミーに応じた明確な漸近的挙動を得る。平滑なファイバーでは指数的減衰により分離された円筒に収束し、有限モノドロミーでは二次的減衰により平坦なT²-被覆が平坦な2次元錐上に投影される。無限モノドロミーではべき則的減衰を示し、曲率の鋭い推定値を得て、Cheeger-Tianの境界が改善できないことを示す。

ABSTRACT

Let $X$ denote the complex projective plane, blown up at the nine base points of a pencil of cubics, and let $D$ be any fiber of the resulting elliptic fibration on $X$. Using ansatz metrics inspired by work of Gross-Wilson and a PDE method due to Tian-Yau, we prove that $X \setminus D$ admits complete Ricci-flat Kähler metrics in most de Rham cohomology classes. If $D$ is smooth, the metrics converge to split flat cylinders $\R^+ imes S^1 imes D$ at an exponential rate. In this case, we also obtain a partial uniqueness result and a local description of the Einstein moduli space, which contains cylindrical metrics whose cross-section does not split off a circle. If $D$ is singular but of finite monodromy, they converge at least quadratically to flat $T^2$-submersions over flat 2-dimensional cones which need not be quotients of $\R^2$. If $D$ is singular of infinite monodromy, their volume growth rates are 4/3 and 2 for the Kodaira types ${ m I}_b$ and ${{ m I}_b}^*$, their injectivity radii decay like $r^{-1/3}$ and $(\log r)^{-1/2}$, and their curvature tensors decay like $r^{-2}$ and $r^{-2}(\log r)^{-1}$. In particular, the ${ m I}_b$ examples show that the curvature estimate from Cheeger-Tian \cite{ct-einstein} cannot be improved in general.

研究の動機と目的

• 有理楕円曲面 X = ℙ²#9ℙ̄² におけるファイバー D の補集合上に完全なリッチ平坦ケーラー計量を構成すること。
• ファイバー D のモノドロミー型に応じた、これらの計量の漸近的幾何を理解すること。
• 鋭い曲率減衰推定値を確立し、円筒的状況における部分的一意性結果を証明すること。
• 分離しない断面をもつ円筒的計量の周囲におけるアインシュタインモジュライ空間の局所的構造を記述すること。
• 特異ファイバーを伴う状況において、Cheeger-Tianの曲率減衰推定値が改善可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 重み付きソボレフ不等式フレームワークを用いた複素モナジェ-AMPère方程式の解法を、X\D 上でTian-YauのPDE法により適用する。
• 楕円ファイブレーションにおける特異ファイバーの研究に由来するGross-Wilsonのアイデアを踏まえた計量のアンザッツを採用する。
• 重み付きソボレフ不等式と等周的推定値を用いて、解の無限遠およびファイバー近傍での挙動を制御する。
• ε-摂動された複素モナジェ-AMPère方程式を解き、ε→0 の極限を取ることで完全なリッチ平坦計量を得る。
• ファイバーの型（平滑、有限モノドロミー、無限モノドロミー）に応じて、曲率と体積成長の減衰率を分類して分析する。
• 陰関数定理と線形化解析を用いてモジュライ空間の構造を研究し、円筒的状況における一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X を三次曲線の線型系の9個の基本点でのℙ²の blown up とし、D を得られる楕円ファイブレーションのファイバーとする。X\D 上に、ほとんどのde Rhamコホロロジー類において完全なリッチ平坦ケーラー計量が存在するか？
• RQ2 D が平滑な場合、これらの計量の正確な漸近的幾何は何か？ そして、分離された平坦な円筒にどの程度の速さで収束するか？
• RQ3 Cheeger-Tianの曲率減衰推定値は改善可能か？ また、無限モノドロミーをもつ特異ファイバーの幾何に何を明らかにするか？
• RQ4 断面が円を分離しない円筒的計量の周囲におけるアインシュタインモジュライ空間の局所的構造は何か？
• RQ5 Kodaira型 Ib および I*b ファイバーに対して、体積成長と曲率減衰率が異なるか？ もしそうなら、正確な減衰率は何か？

主な発見

• 平滑なファイバー D に対して、X\D 上の完全なリッチ平坦計量は、指数的減衰で分離された平坦な円筒 ℝ⁺×S¹×D に収束する。
• 有限モノドロミーのファイバーに対しては、計量は二次的減衰により平坦なT²-被覆が平坦な2次元錐上に投影されるものに収束し、これは ℝ² の商とは限らない。
• Kodaira型 Ib ファイバーでは体積成長が r⁴/³、曲率減衰が r⁻² である。I*b ファイバーでは体積成長が r²、曲率減衰が r⁻²(log r)⁻¹ である。
• Ib ファイバーの曲率減衰率は、減衰が鋭いことを示しており、一般にはCheeger-Tianの推定値を改善できないことを示している。
• 有限モノドロミーの円筒的状況では、部分的一意性結果が成り立ち、アインシュタインモジュライ空間は分離しない断面を含む局所的記述を許容する。
• 変形空間間の線形写像を構成し、それが同型であることを証明することで、円筒的計量の周囲におけるモジュライ空間の局所的構造を確認した。