[論文レビュー] Asymptotically Optimal Vertex Ranking of Planar Graphs

Prosenjit Bose, Vida Dujmović+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平面グラフにおけるℓランク付けについて漸近的に最適な境界を確立し、任意の固定されたℓ ≥ 2に対して、n頂点の平面グラフはO(log n / log(3) n)色でℓランク付け可能であり、これはℓ = 2のときtightであることを示している。この手法は積構造定理と木幅に基づく分解を活用し、有界な genus を持つグラフ、頂点を除いた最小小グラフ、およびk-平面グラフに対しても同様の漸近的境界が成り立つように拡張される。

ABSTRACT

A (vertex) $\ell$-ranking is a colouring $φ:V(G) o\mathbb{N}$ of the vertices of a graph $G$ with integer colours so that for any path $u_0,\ldots,u_p$ of length at most $\ell$, $φ(u_0) eqφ(u_p)$ or $φ(u_0)<\max\{φ(u_0),\ldots,φ(u_p)\}$. We show that, for any fixed integer $\ell\ge 2$, every $n$-vertex planar graph has an $\ell$-ranking using $O(\log n/\log\log\log n)$ colours and this is tight even when $\ell=2$; for infinitely many values of $n$, there are $n$-vertex planar graphs, for which any 2-ranking requires $Ω(\log n/\log\log\log n)$ colours. This result also extends to bounded genus graphs. In developing this proof we obtain optimal bounds on the number of colours needed for $\ell$-ranking graphs of treewidth $t$ and graphs of simple treewidth $t$. These upper bounds are constructive and give $O(n)$-time algorithms. Additional results that come from our techniques include new sublogarithmic upper bounds on the number of colours needed for $\ell$-rankings of apex minor-free graphs and $k$-planar graphs.

研究の動機と目的

• 平面グラフの2ランク付けにおける既知の上界と下界の間のギャップを埋める。この問題は、先行研究によって未解決のままであった。
• 平面グラフおよびその一般化（有界genus、頂点を除いた最小小グラフなど）におけるℓランク付けのtightな漸近的境界を確立すること。
• 有界木幅および関連クラスのグラフにおいて、ℓランク付けを計算する構成的で線形時間のアルゴリズムを開発すること。
• David Woodの洞察から導かれる単純木幅の概念を用いて、ℓランク付けの分析を統一的かつ簡素化すること。

提案手法

• 任意の平面グラフが、木幅が3以下であるHとK₃ ⊠ Pの直積の部分グラフであるという最近の積構造定理を活用する。
• χℓ-vr(G₁ ⊠ G₂) ≤ χℓ-vr(G₁) · χ̄ℓ(G₂) を示すキーレンマを適用し、ここでχ̄ℓ(G₂) はG₂の距離ℓ彩色数である。
• 単純木幅tのグラフに対して、χℓ-vr(G) ∈ O(log n / log(t) n) を証明し、特に平面グラフにおいてt = 3のときtightであることを示す。
• 木幅tに関する帰納法を用い、t = 1（非連結パス）の基本ケースではO(log ℓ)色を必要とし、部分グラフにおける色の使用量を再帰的に評価する。
• 改良された境界 χℓ-vr(H) ∈ O(ℓ^{t−1} log^t ℓ · log n / log(t) n) を適用し、平面グラフ、有界genus、k-平面グラフの結果を導出する。
• 既存の積構造定理と改良された木幅境界を用いて、頂点を除いた最小小グラフおよび(g,k)-平面グラフに対しても結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n頂点の平面グラフの2ランク付けに必要な漸近的に最適な色数は何か？
• RQ2 平面グラフのℓランク付けにおける上界O(log n)は改善可能か？ もしそうなら、どの程度まで改善可能か？
• RQ3 マイナー閉じたグラフ族において、ℓランク付けの数はℓおよび木幅とどのようにスケーリングするか？
• RQ4 有界genusやk-平面グラフなどのより広いグラフクラスへ、境界を拡張できるか？
• RQ5 有界木幅のグラフにおいて、ℓランク付けを計算する構成的で線形時間のアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 任意の固定されたℓ ≥ 2に対して、n頂点の平面グラフはO(log n / log(3) n)色でℓランク付け可能であり、ℓ = 2のときこの境界は漸近的にtightである。
• 無限に多くのnに対して、任意の2ランク付けにおいてΩ(log n / log(3) n)色を必要とするn頂点の平面グラフが存在し、上界の最適性が裏付けられる。
• 単純木幅tのグラフに対しても境界が拡張可能：χℓ-vr(G) ∈ O(log n / log(t) n) であり、特に平面グラフにおいてt = 3のときtightであることが示された。
• 木幅tのグラフに対して、ℓランク付けの数はO(ℓ^t log^t ℓ · log n / log(t+1) n) であり、これは平面グラフの結果を一般化する。
• 上界は構成的であり、有界木幅のグラフ（平面3-木や外平面グラフを含む）において、ℓランク付けをO(n)時間で計算するアルゴリズムを導く。
• Euler genus ≤ g のグラフに対しても、O(g log n / log(3) n) の境界が成り立ち、頂点を除いた最小小グラフおよび(g,k)-平面グラフに対しても、O(b ℓ^{c−1} log^c ℓ · log n / log(c) n) の境界が成り立つ。ここでb, cはクラスに依存する定数である。