[論文レビュー] Asymptotics of Toeplitz operators and applications in TQFT

Jørgen Ellegaard Andersen, Jakob Lindblad Blaavand|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、平坦なSU(n)接続のモジュライ空間の幾何学的量子化を用いて、Hitchin接続とToeplitz作用素を用いて、SU(n)量子表現の漸近的忠実性を確立する。これは、大きなレベル極限において、これらの表現が群構造を忠実に捉えることを示し、複素構造に依存しない形式的Berezin-Toeplitzスタープロダクトを構成する。アーベルの場合の明示的例も提示する。

ABSTRACT

In this paper we provide a review of asymptotic results of Toeplitz operators and their applications in TQFT. To do this we review the differential geometric construction of the Hitchin connection on a prequantizable compact symplectic manifold. We use asymptotic results relating the Hitchin connec- tion and Toeplitz operators, to, in the special case of the moduli space of flat SU(n)-connections on a surface, prove asymptotic faithfulness of the SU(n) quantum representations of the mapping class group. We then go on to re- view formal Hitchin connections and formal trivializations of these. We discuss how these fit together to produce a Berezin-Toeplitz star product, which is independent of the complex structure. Finally we give explicit examples of all the above objects in the case of the abelian moduli space. We furthermore discuss an approach to curve operators in the TQFT associated to abelian Chern-Simons theory.

研究の動機と目的

• 幾何的量子化を用いて、写像類群のSU(n)量子表現の漸近的忠実性を確立すること。
• 予量子化可能なシンプレクティック多様体の文脈において、Hitchin接続とToeplitz作用素を結びつけること。
• モジュライ空間上で複素構造に依存しない形式的Berezin-Toeplitzスタープロダクトを構成すること。
• アーベル的モジュライ空間の場合の明示的構成と例を提供すること。
• アーベル的Chern-Simons理論TQFTにおける曲線作用素の枠組みを構築すること。

提案手法

• 予量子化可能でコンパクトなシンプレクティック多様体上のHitchin接続の微分幾何的構成を用いる。
• 大きなレベル極限においてHitchin接続とToeplitz作用素を関連付ける漸近的解析を適用する。
• 形式的Hitchin接続と形式的自明化の形式的枠組みを用いてスタープロダクトを導出する。
• Toeplitz作用素の漸近展開を通じてBerezin-Toeplitzスタープロダクトを構成し、複素構造に依存しないことを保証する。
• 対称行列の行列式微分と微分法則を用いて、シンプレクティック構造および複素構造作用素を計算する。
• 平坦なSU(n)接続のモジュライ空間に幾何学的量子化の枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群のSU(n)量子表現は、大きなレベル極限においても忠実性を保つのか？
• RQ2 平坦接続のモジュライ空間上で、Hitchin接続は漸近的にToeplitz作用素と関連づけられるか？
• RQ3 複素構造に依存しないモジュライ空間上に形式的Berezin-Toeplitzスタープロダクトが存在するか？
• RQ4 WZW理論およびスケイン理論によるTQFTの幾何的・代数的構成は、幾何学的量子化とどのように関係するか？
• RQ5 アーベル的Chern-Simons理論TQFTにおける曲線作用素の明示的形は何か？

主な発見

• レベルkが無限大に近づく極限において、写像類群のSU(n)量子表現は漸近的に忠実である。
• 平坦なSU(n)接続のモジュライ空間上で、Hitchin接続とToeplitz作用素は、大きなkの極限において漸近的に同値である。
• モジュライ空間上の複素構造の選択に依存しない形式的Berezin-Toeplitzスタープロダクトが構成された。
• 行列微分と複素構造の虚部の逆行列を用いて、シンプレクティック形式および複素構造作用素の明示的公式が導出された。
• アーベル的場合、形式的Hitchin接続およびスタープロダクトは明示的な実現を備え、一般枠組みの具体的な例を提供する。
• Toeplitz作用素とHitchin接続の形式的枠組みを用いて、アーベル的Chern-Simons理論における曲線作用素の構成が確立された。