[論文レビュー] Autoduality of compactified Jacobians for curves with plane singularities

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、平面上の特異点をもつ整数的で射影的曲線のコンパクト化ヤコビアンについて、ヤコビアン $J$ からのポアンカーレ線束を拡張する ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上の普遍コhen＝マカウレイ層 ${\overline{P}}$ を構成することにより、その自己双対性を確立する。${\overline{P}}$ に関連するフーリエ＝ムカイ変換が、導来カテゴリ－の同値であることが示され、${\overline{J}}$ が導来的意味での自己双対であることが証明される。

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with planar singularities. Consider its Jacobian J and the compactified Jacobian J'. We construct a flat family P of Cohen-Macaulay sheaves on J' parametrized by J'; over J, the family P is the Poincare line bundle. We prove that the Fourier-Mukai transform given by P is an auto-equivalence of the derived category of J'.

研究の動機と目的

• 整数的で射影的曲線のコンパクト化ヤコビアンについて、導来的自己双対性を確立すること。
• ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上に、$J \times {\overline{J}}$ からのポアンカーレバンドルを拡張する普遍コヘン＝マカウレイ層の族を構成すること。
• ${\overline{P}}$ に関連するフーリエ＝ムカイ変換が、${\overline{J}}$ 上の導来カテゴリ－の同値であることを証明すること。
• ${\overline{J}}$ が自身上の階数1のねじれのない層のモジュライ空間の連結成分に同型であることを示すこと。

提案手法

• ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上に、$J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上でポアンカーレ線束に一致する連接層 ${\overline{P}}$ を構成すること。
• ${\overline{P}}$ が ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ の各因子に関して平坦であることを証明し、${\overline{J}}$ をパrameterとする層の族として扱えるようにすること。
• ${\overline{P}}$ の普遍性を用いて、${\overline{J}}$ を ${\overline{J}}$ 上の階数1のねじれのない層のモジュライ空間の連結成分と同定すること。
• フーリエ＝ムカイ変換 $\mathfrak{F}(\mathcal{G}) = Rp_{2,*}(p_1^*\mathcal{G} \otimes {\overline{P}})$ を定義し、それが $D^b({\overline{J}})$ 上で同値であることを証明すること。
• [5] や [14] の結果、特に $P$ が $J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上に普遍族に拡張可能であるという事実を活用して、${\overline{P}}$ の拡張を構築すること。
• セール双対性とヒルベルト多項式の下半連続性を用いて、点に台を持つ層 $M$ の変換がスカイクラッパー層に対応することを示し、逆写像が代数的であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の特異点をもつ曲線に対して、$J \times {\overline{J}}$ 上のポアンカーレ線束は、${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上の普遍層に拡張可能か？
• RQ2 ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上のこのような拡張に関連するフーリエ＝ムカイ変換は、${\overline{J}}$ 上の導来カテゴリ－の同値であるか？
• RQ3 ${\overline{J}}$ は、滑らかなヤコビアンの古典的自己双対性を一般化した導来カテゴリ－的意味での自己双対性をもつか？
• RQ4 ${\overline{J}}$ は、自身上の階数1のねじれのない層のモジュライ空間の連結成分として同定可能か？
• RQ5 ${\overline{J}}$ の導来的自己双対性と、$\mathrm{GL}(n)$ のヒチン・ファイブレーションとの関係は何か？

主な発見

• ${\overline{J}} \times {\overline{J}}$ 上に、$J \times {\overline{J}} \cup {\overline{J}} \times J$ 上のポアンカーレバンドルを拡張する平坦なコヘン＝マカウレイ層の族 ${\overline{P}}$ が構成された。
• ${\overline{P}}$ の $J \times {\overline{J}}$ への制限は標準的なポアンカーレ線束と一致し、$L,F \in J$ に対して $P_{(L,F)} = \det R\Gamma(L \otimes F) \otimes \det R\Gamma(O_C) \otimes \det R\Gamma(L)^{-1} \otimes \det R\Gamma(F)^{-1}$ が成り立つ。
• ${\overline{P}}$ によって定まるフーリエ＝ムカイ変換 $\mathfrak{F}$ は、$D^b({\overline{J}}) \to D^b({\overline{J}})$ の導来カテゴリ－の同値である。
• 任意の $F \in {\overline{J}}$ に対して ${\overline{P}}_F$ を送る写像 $\rho: {\overline{J}} \to \mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits({\overline{J}})^{=}$ は、${\overline{J}}$ を ${\overline{J}}$ 上の階数1のねじれのない層のモジュライ空間の連結成分に同型にする。
• 任意の $M \in \mathop{\mathrm{Pic}}\nolimits({\overline{J}})^{=}$ で $h^i(\mathfrak{F}(M)) = \delta_{i,g}$ を満たすものに対して、$\mathfrak{F}(M) \cong \mathcal{O}_{F^\vee}[-g]$ が成り立ち、逆写像が代数的であることが証明された。
• 普遍層 $\Psi_{\mathrm{univ}}[g]$ が $\mathcal{O}_\Delta \otimes \pi^* \det(\mathfrak{j})$ に同型であることが示され、この層がコヘン＝マカウレイ的であり、導来同値性を支えることが確認された。