[論文レビュー] Automaton semigroups: new construction results and examples of non-automaton semigroups

Tara Brough, Alan J. Cain|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限半群の自由積および自動機械モノイドと有限モノイドのワレージュ積が、常に自動機械半群であることを確立し、これらの構成に関する未解決の問題を解決した。さらに、(N, +) や (N₀, +) の非自明な部分半群は自動機械半群ではないことを証明し、有限生成で、残余有限かつ単純な語問題を解けるが自動機械半群でない最初の既知の例を提供した。

ABSTRACT

This paper studies the class of automaton semigroups from two perspectives: closure under constructions, and examples of semigroups that are not automaton semigroups. We prove that (semigroup) free products of finite semigroups always arise as automaton semigroups, and that the class of automaton monoids is closed under forming wreath products with finite monoids. We also consider closure under certain kinds of Rees matrix constructions, strong semilattices, and small extensions. Finally, we prove that no subsemigroup of $(\mathbb{N}, +)$ arises as an automaton semigroup. (Previously, $(\mathbb{N},+)$ itself was the unique example of a finitely generated residually finite semigroup that was known not to arise as an automaton semigroup.)

研究の動機と目的

• 自動機械半群が有限モノイドとの自由積およびワレージュ積に関して閉じているかどうかという未解決問題を解明すること。
• リース行列構成、強い半ラティス、および小拡張などの特定の半群構成が自動機械半群性を保つかどうかを調査すること。
• 有限生成で、残余有限かつ単純な語問題を解けるが自動機械半群でない半群の新しい例を同定し、理論における長年の空白を埋めること。
• 特定の半群が自動機械半群でないことを示す一般的手法を提供すること、特に (N, +) の部分半群に焦点を当てる。

提案手法

• 状態写像とワレージュ再帰技術を用いて、有限半群の自由積の自動機械実現を構成すること。
• S ≀ T が、S が自動機械モノイドで T が有限の場合、再帰的状態挙動を通じて自動機械モノイドとして埋め込まれることを示すことにより、ワレージュ積に関しての閉包性を証明すること。
• 仮想の自動機械実現における (N₀, +) の部分半群の周期的要素を特定するために、ワレージュ再帰解析を用いること。
• 状態が自分自身とゼロ状態への再帰のみを行う場合、それは周期的要素を表すという、補題14を適用すること。
• 状態のべき（例：qₖˡ および qₗᵏ）のワレージュ再帰構造を分析し、(N₀, +) の非自明な部分半群に対する有限自動機械の存在を仮定した場合の矛盾を導出すること。
• (N, +) の部分半群が有限生成であり、かつ (N, +) の大きな部分半群であるという事実を用い、自動機械実現における周期的制約のため、このような半群が自動機械半群にはなり得ないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限半群の自由積は常に自動機械半群であるか？
• RQ2 自動機械モノイドのクラスは、有限モノイドとのワレージュ積に関して閉じているか？
• RQ3 自動機械半群上のリース行列構成が、ある条件下で自動機械半群を生成するか？
• RQ4 自動機械半群の強い半ラティスは、自身も自動機械半群であるか？
• RQ5 自動機械半群の小拡張は、必然的に自動機械半群であるか？特に、ゼロを付加することで非自動機械半群が自動機械半群に変わる可能性があるか？

主な発見

• 有限半群の自由積は常に自動機械半群である。これは、有限群の自由積が自動機械群であるという結果を拡張し、未解決問題を解決した。
• 自動機械モノイドと有限モノイドのワレージュ積は常に自動機械モノイドである。これは、以前の部分的結果に対する完全な答えを提供した。
• (N₀, +) の非自明な部分半群（(N, +) の任意の部分半群を含む）は、自動機械半群ではない。これは、有限生成で、残余有限かつ単純な語問題を解けるが自動機械半群でない最初の既知の例を確立した。
• 証明は、非自明な (N₀, +) の部分半群を実現する仮想の自動機械が、周期的要素を表す状態を必要とすることを示すことにより、そのような半群が非自明な周期的要素を持たないという事実と矛盾することに依拠している。
• この結果は、(N, +) の部分半群がゼロを付加しても自動機械半群に変わらないことを示しており、このような拡張に関して、ある種の可能性のある肯定的解答を排除した。
• ワレージュ再帰と周期的要素検出に基づく一般的手法が、特定の半群が自動機械半群でないことを示すためのツールとして提案された。これは、将来の研究における「ポンプ補題」に類似した基準の可能性を示唆している。