[論文レビュー] On hopfian cofinite subsemigroups

Victor Maltcev, Nik Ruškuc|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限生成半群が余有限部分半群を含む場合、その余有限部分半群がホフィアンであれば、その半群自体がホフィアンであることを確立している。これは、ヒルションの群論的結果に対する半群版の類似である。主な貢献は、有限生成半群の全単射自己準同型が、真の余有限部分半群を全体にマップすることはできないという構造定理であり、これが主結果を示す。反例により、有限生成性の必要性と、ホフィアン性が余有限部分半群に引き継がれないことが示されている。

ABSTRACT

If a finitely generated semigroup S has a hopfian (meaning: every surjective endomorphism is an automorphism) cofinite subsemigroup T then S is hopfian too. This no longer holds if S is not finitely generated. There exists a finitely generated hopfian semigroup S with a non-hopfian subsemigroup T such that S\T has size 1.

研究の動機と目的

• 有限生成半群におけるリース指数が有限である拡張において、ホフィアン性が保存される条件を調査すること。これは、群論における既知の結果に類似する。
• ホフィアン性が余有限部分半群に保存される場合、有限生成性が必要条件であるかどうかを特定すること。
• 有限生成の場合でさえ、ホフィアン性が余有限部分半群に引き継がれないことを示す明示的例を構成すること。
• 半群論におけるホフィアン性、有限生成性、およびリース指数の関係を調査すること。
• 一関係子半群におけるホフィアン性に関する未解決問題に取り組む。

提案手法

• 中心的な技術的結果を証明する：有限生成半群の全単射自己準同型は、真の余有限部分半群を全体にマップすることはできない。
• 自由半群の構造とその集合への作用を用いて、半直積によって定義される半群の自己準同型を分析する。
• 自由半群の$F$-作用（$F$-acts）に関する結果を応用し、ホフィアンおよび非ホフィアン半群の例を構成する。
• 書き換え系とコンフラuent性の議論を用いて、特定の半群提示における自己準同型と非単射性を検証する。
• 有限ランクの自由半群の自己同型が有限位数を持つという事実を活用し、自己準同型に関する帰納法的議論を可能にする。
• 巡回的$F$-作用を用いて、リース指数1の非ホフィアン部分半群をもつ有限生成ホフィアン半群を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余有限部分半群がホフィアンであれば、有限生成半群全体がホフィアンであると示せるか？
• RQ2 余有限部分半群におけるホフィアン性の保存には、有限生成性の仮定が必要か？
• RQ3 有限生成ホフィアン半群が、有限リース指数の非ホフィアン部分半群を含むことができるか？
• RQ4 有限生成提示可能なホフィアン半群が、有限リース指数の非ホフィアン部分半群を含むことができるか？
• RQ5 一関係子半群におけるホフィアン性は決定可能か？

主な発見

• 有限生成半群$S$がホフィアンな余有限部分半群$T$を含むならば、$S$はホフィアンである。これは、ヒルションの群論的結果に対する半群版の類似を確立する。
• 有限生成性の仮定は本質的である。$S^1$と$T^1$を用いた反例により、有限生成でなければホフィアン性が余有限部分半群に保存されないことが示されている。
• ホフィアンでない部分半群$T$をもち、$|S \setminus T| = 1$を満たす有限生成ホフィアン半群$S$が存在する。これは、ホフィアン性が余有限部分半群に引き継がれないことを示している。
• 半群$S = F[Y]$はホフィアンかつ有限生成であり、一方$T = F[X]$はホフィアンでない。ここで$Y$は巡回的ホフィアン$F$-作用であり、$X$は$|Y \setminus X| = 1$を満たす巡回的非ホフィアン$F$-作用である。
• 一関係子半群$S = \langle a,b \mid abab^2ab = b \rangle$は、コンフラuentかつノエター的書き換え系を用いて全単射で非単射な自己準同型を構成することにより、非ホフィアンであることが示されている。
• 本稿では、非ホフィアンな一関係子半群の明示的例を提供し、文献における空白を埋め、このようなクラスにおいてホフィアン性が一般に決定不能であることを示している。