[論文レビュー] Automorphic cohomology, motivic cohomology, and the adjoint $L$-function

Kartik Prasanna, Akshay Venkatesh|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、算術群のコホロロジーとラングランズ関連モチーフのモチーフ的コホロロジーの間の推測的関係を提案し、特にs=1における随伴L関数に関連するものである。周期積分と解析 torsion を用いて、モチーフ的コホロロジーが自動形式的コホロロジーに度数をずらす作用を定式化し、特定のケースにおけるホッジ線形代数的キャンセレーションを通じて数値的に検証している。

ABSTRACT

We propose a relationship between the cohomology of arithmetic groups, and the motivic cohomology of certain (Langlands-)attached motives. The motivic cohomology group in question is that related, by Beilinson's conjecture, to the adjoint $L$-function at $s=1$. We present evidence for the conjecture using the theory of periods of automorphic forms, and using analytic torsion.

研究の動機と目的

• 算術群のコホロロジーにおけるスペクトル的退化を説明する。ここでヘッケ作用素は複数の次数にわたり同一の固有値をもつ。
• この退化が、有理コホロロジーにモチーフ的コホロロジーの隠れた度数シフト作用に起因するものであると提唱する。
• アーキメデス的レギュレーターを介して、この作用をs=1における随伴L関数に関するベイリンソンの予想と結びつける。
• 周期積分とホッジ線形代数を用いた数値的フレームワークを提供し、予想をテストする。
• 大きなキャンセレーションがホッジ構造に生じる低ランクケース（例：δ=3）において予測を検証する。

提案手法

• 算術的多様体Y(K)のコホロロジーを、群コホロロジーの直和として定式化し、ヘッケ作用が自動形式的表現πを介して因数分解されることを示す。
• 非分岐な場所における特性χ_vを用いてコホロロジーをヘッケ固有系Πに局所化し、(g,K∞⁰)-コホロロジーが非ゼロである、温度的かつ尖域的表現に焦点を当てる。
• H*(Y,Q)ₚにおけるモチーフ的コホロロジーの推測的作用を定義し、ヘッケ代数と可換であり、度数をδだけずらすものとする。
• アーキメデス的レギュレーターを用いてC上での作用を定義し、有理構造を保存すると推測する。
• G = PGL_n, SO_m, Sp(2n)に対して、c群の標準的表現を用いて関連モチーフMとAd(M)のホッジ数を計算する。
• 周期積分とホッジ線形代数による検証を通じて、δ=3の場合に驚くべきキャンセレーションが観察され、周期行列の予測が一貫している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的退化は、隠れたモチーフ的構造によってどのように説明可能か？
• RQ2 ラングランズモチーフのモチーフ的コホロロジーとs=1における随伴L関数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 モチーフ的コホロロジーの有理コホロロジーへの推測的度数シフト作用は、周期積分とホッジ理論によって実現可能か？
• RQ4 どのケースで予測された周期行列が数値計算と一致するのか？また、観察されたキャンセレーションはどのように説明されるか？
• RQ5 モチーフMのホッジ数とその随伴表現Ad(M)のホッジ数は、自動形式のコホロロジカル構造をどのように反映するか？

主な発見

• H*(Y,C)ₚのコホロロジーは、δ = rank(G) − rank(K∞) および q = (dim Y − δ)/2 として、度数jにおいて重複度k·(δ choose j−q)を示し、スペクトル的退化を説明する。
• G = SL_{2m}の場合、コホロロジカル度数はq = m²からq + δ = m² + m − 1までであり、二項係数に比例する重複度を示す。
• δ=3の場合、数値的検証によりホッジ線形代数的キャンセレーションが顕著に観察され、周期行列の予測が一貫している。
• PGL_nのモチーフMのホッジ数は(n−1,0), (n−2,1), ..., (0,n−1)であり、それぞれ重複度1。
• SO_{2n}のMのホッジ数は(2n−2,0)¹, (2n−3,1)¹, ..., (n−1,n−1)², ..., (0,2n−2)¹であり、Ad(M)では対称的パターンを示す。
• SO_{2n+1}のMのホッジ数は(2n−1,0), (2n−2,1), ..., (0,2n−1)であり、それぞれ重複度1。Ad(M)は重複度1,1,2,2,...,n,n,...,2,2,1,1を示す。