[論文レビュー] Automorphic lifts of prescribed types

Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、変形環の構造結果とモジュラー性上昇技術を用いて、$p$ を除く場所における指定された局所型を持つ、残余 mod $p$ Galois表現を上昇させる自己表示 Galois 表現の存在を確立する。$n$ 次元自己表示 Galois 表現におけるレベル上昇およびレベル低下定理を証明し、Serre 重み予想の一般化のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove a variety of results on the existence of automorphic Galois representations lifting a residual automorphic Galois representation. We prove a result on the structure of deformation rings of local Galois representations, and deduce from this and the method of Khare and Wintenberger a result on the existence of modular lifts of specified type for Galois representations corresponding to Hilbert modular forms of parallel weight 2. We discuss some conjectures on the weights of $n$-dimensional mod $p$ Galois representations. Finally, we use recent work of Taylor to prove level raising and lowering results for $n$-dimensional automorphic Galois representations.

研究の動機と目的

• $p$ を除く場所における指定された局所型を持つ、与えられた残余 mod $p$ Galois 表現を上昇させる自己表示 Galois 表現の存在を確立すること。
• Khare と Wintenberger の手法を平行重量 2 のヒルベルトモジュラー形式へと拡張し、標準的仮定の下で、完全に一般な意味でレベル低下結果を証明すること。
• $n$ 次元 mod $p$ Galois 表現における Serre 重み予想を一般化すること、特にヒルベルトモジュラー形式の文脈において。
• Taylor の最近の結果を用いて、$n$ 次元自己表示 Galois 表現におけるレベル上昇およびレベル低下定理を証明すること。
• $p$ で分岐しない数体上の $n$ 次元 Galois 表現の文脈において、将来の $R=T$ 定理の枠組みを提供すること。

提案手法

• $p$ とは異なる場所 $l$ における mod $p$ Galois 表現の局所的変形環の構造を分析し、Kisin の $l=p$ の場合の手法を適応する。
• Khare と Wintenberger の手法を適用して、平行重量 2 のヒルベルトモジュラー形式に対して、指定された型のモジュラー上昇の存在を証明する。
• 普遍変形環 $R_{\tau}^{univ}$ 及びその整数環 $\mathcal{O}$ 上への還元を用い、トレースの生成と Nakayama の補題に依存して、$\mathcal{O}$ 上の有限性を示す。
• Gouvêa と Hida の Hecke 環に関する結果を適用して、$R_{\tau}^{univ}$ が $\mathcal{O}$ 上で有限であることを確立し、自己表示上昇の存在を保証する。
• Taylor の最近の $R=T$ 定理に関する結果を活用して、$n$ 次元 Galois 表現におけるレベル上昇およびレベル低下結果を導出する。
• 場所 $v \in Y$ における指定された局所型 $\tau_v$ を持つ変形問題 $\mathcal{S}$ を構成し、普遍変形環を用いて $\overline{\rho}$ を自己表示表現 $\pi$ に上昇させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残余 Galois 表現 $\overline{\rho}$ が $\mathrm{GL}_n$ 上の $\overline{\mathbb{F}}_l$ に値を持つとき、$v \notin \{p\}$ における場所で指定された局所型を持つモジュラー上昇をもつ条件は何か？
• RQ2 普通の上昇の存在を仮定する場合、平行重量 2 のヒルベルトモジュラー形式に対して、レベル低下結果を完全に一般に確立できるか？
• RQ3 $n$ 次元 mod $p$ Galois 表現の可能な Serre 重みは何か？ そして、既存の予想をどのように一般化できるか？
• RQ4 レベル上昇およびレベル低下定理は、2 次元の場合を超えて、$n$ 次元自己表示 Galois 表現へとどの程度拡張可能か？
• RQ5 普遍変形環 $R_{\tau}^{univ}$ が $\mathcal{O}$ 上で有限であることを保証する条件は何か？ これにより、自己表示上昇の構成が可能になる。

主な発見

• 普遍変形環 $R_{\tau}^{univ}$ は、$\mathcal{O}$ 上のランクが 1 以上の有限 $\mathcal{O}$-加群であり、指定された局所型を持つ自己表示上昇の存在を保証する。
• ヒルベルトモジュラー形式の平行重量 2 に対して、Taylor-Wiles の仮定と普通の上昇の存在を仮定すると、$p$ を除くすべての場所でレベル低下が成立する。
• $p$ が完全に分解し、Taylor-Wiles の仮定が成り立つ場合、Buzzard, Diamond, および Jarvis の Serre 重みに関する予想が完全に一般に証明される。
• 論文は、$\dim(R_{\tau}^{univ}) \geq 1$ を証明しており、これは合同式 $\mu_\pi \equiv n \pmod{2}$ と変形環の構造から導かれる。
• $n$ 次元自己表示 Galois 表現におけるレベル上昇およびレベル低下定理が、Taylor の最近の $R=T$ 定理に依拠して確立される。
• $(R_{\tau}^{univ})^{\text{red}}$ は $\mathcal{O}$ 上で有限である。なぜなら、これは $(R_{\mathcal{S}}^{\text{univ}})^{\text{red}}$ に同型であり、$\mathcal{O}$ 上で有限な Hecke 環 $\mathbb{T}$ に同型だからである。