[論文レビュー] Automorphism Groups and Invariant Theory on PN

João Alberto de Faria, Benjamin Hutz|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、射影空間 $\mathbb{P}^N$ 上の自己準同型の自己同型群を研究するための不変体理論における計算的手法を開発し、$\mathbb{P}^1$ における Faber-Manes-Viray アルゴリズムを $\mathbb{P}^2$ に拡張する。有限部分群が $\mathrm{PGL}_{N+1}$ に無限回現されると証明され、次数に依存する明示的な自己同型群のサイズの上限が得られ、固定点解析によるアルゴリズム的決定が可能になる。

ABSTRACT

Let $K$ be a field and $f:\mathbb{P}^N o \mathbb{P}^N$ a morphism. There is a natural conjugation action on the space of such morphisms by elements of the projective linear group $ ext{PGL}_{N+1}$. The group of automorphisms, or stabilizer group, of a given $f$ for this action is known to be a finite group. In this article, we address two mainly computational problems concerning automorphism groups. Given a finite subgroup of $ ext{PGL}_{N+1}$ determine endomorphisms of $\mathbb{P}^N$ with that group as subgroup of its automorphism group. In particular, we show that every finite subgroup occurs infinitely often and discuss some associated rationality problems. Inversely, given an endomorphism determine its automorphism group. In particular, we extended the Faber-Manes-Viray fixed-point algorithm for $\mathbb{P}^1$ to endomorphisms of $\mathbb{P}^2$. A key component is an explicit bound on the size of the automorphism group depending on the degree of the endomorphism.

研究の動機と目的

• 与えられた $\mathrm{PGL}_{N+1}$ の有限部分群を自己同型群として持つ $\mathbb{P}^N$ 上の自己準同型を構成するという逆問題に取り組む。
• Faber-Manes-Viray の固定点アルゴリズムを $\mathbb{P}^1$ から $\mathbb{P}^2$ に拡張し、自己準同型の自己同型群を計算する。
• 自己同型群のサイズに対する明示的な上界を、自己準同型の次数の観点から確立する。
• 力学系における定義体とモジュライ体の関係に関連する有理型とモジュライ問題を調査する。

提案手法

• 古典的不変体理論を用いて、$\mathrm{PGL}_{N+1}$ の所定の有限部分群を含む自己同型群を持つ自己準同型を構成する。
• $\mathrm{PGL}_{N+1}$ の自己準同型への作用を用いてモジュライ空間 $M_d^N$ を定義し、自己同型群を安定化する。
• Sage を用いて固定点アルゴリズムを実装し、有理周期点を計算し、候補となる自己同型の下での不変性を検証する。
• 直接計算が不可能な場合に、素数を法とする還元を用いて周期点（例：3周期点）の不在を検証する。
• 非自明な自己同型と非自明な有理ねじれの間の同値性を活用し、モジュライ体の問題を分析する。
• 計算代数システム（例：Magma, Sage）を用いて、同次多項式への行列の共役検査により自己同型群の属するかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\mathrm{PGL}_{N+1}$ の有限部分群は、$\mathbb{P}^N$ 上の自己準同型の自己同型群の部分群として実現可能か？
• RQ2 $\mathbb{P}^2$ 上の自己準同型の自己同型群を、$\mathbb{P}^1$ の場合に一般化してアルゴリズム的に決定できるか？
• RQ3 $\mathbb{P}^N$ 上の次数 $d$ の自己準同型の自己同型群のサイズに対する明示的な上界は何か？
• RQ4 有限体上の周期点とそのサイクルは、数体上での特定の周期軌道の不在を検証するためにどのように役立つか？
• RQ5 非自明な自己同型を持つ自己準同型について、定義体とモジュライ体の関係は何か？

主な発見

• $\mathrm{PGL}_{N+1}$ の任意の有限部分群は、$\mathbb{P}^N$ 上の自己準同型の自己同型群の部分群として無限回現される。
• 自己準同型の次数にのみ依存する、$\mathbb{P}^N$ 上の自己準同型の自己同型群のサイズに対する明示的な上界が確立された。
• Faber-Manes-Viray の固定点アルゴリズムは $\mathbb{P}^2$ に成功裏に拡張され、実行時間の例から次数3および4の自己準同型について実行可能性が示された。
• 自己同型群が自明な自己準同型ではアルゴリズムが2.5秒未塔で完了したが、非自明な対称性（例：正八面体群、正四面体群）を有する自己準同型では最大54秒を要した。
• 直接計算が不可能な場合に、素数を法とする還元を用いて3周期点の不在が検証され、それにより元来不可能とされた計算が完了可能になった。
• 正八面体群（位数24）、正四面体群（位数12）、二面体群（位数6）に同型な自己同型群を有する明示的な自己準同型が構成され、計算的に検証された。