[論文レビュー] Automorphism groups of Calabi-Yau manifolds of Picard number two

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ピカール数2の奇数次元カラビ-ヤウ多様体の自己同型群が常に有限であることを証明しており、K3表面やハイパーカラビ-ヤウ多様体の挙動とは著しく対照的である。この結果は、ネフ錐の解析とネロン-セバリー群上での特定の二次形式関係の不在に依拠しており、カラビ-ヤウ3次元多様体のコーン予想および双有理自己同型群に関する追加的結果も得られている。

ABSTRACT

We prove that the automorphism group of an odd dimensional Calabi-Yau manifold of Picard number two is always a finite group. This makes a sharp contrast to the automorphism groups of K3 surfaces and hyperkähler manifolds and birational automorphism groups, as we shall see. We also clarify the relation between finiteness of the automorphism group (resp. birational automorphism group) and the rationality of the nef cone (resp. movable cone) for a hyperkähler manifold of Picard number two. We will also discuss a similar conjectual relation together with exsistence of rational curve, expected by the cone conjecture, for a Calabi-Yau threefold of Picard number two,

研究の動機と目的

• ピカール数2のカラビ-ヤウ多様体の自己同型群の構造を特定すること。
• ピカール数2のハイパーカラビ-ヤウ多様体において、ネフ錐と可動錐の有理性と、自己同型群または双有理自己同型群の有限性との関係を明確にすること。
• ピカール数2のカラビ-ヤウ3次元多様体において、有理曲線とコーン予想との期待される関係を調査すること。
• ピカール数2のカラビ-ヤウ3次元多様体の明示的例を構成し、その双有理自己同型群が無限大であるものとする。

提案手法

• ネルン-セバリー群とピックラティス上の交差形式を用いてネフ錐の幾何を解析する。
• フジキ関係とボゴモロフ＝ベイユ形式を適用し、特定の二次形式構造の不在を検出する。
• マークマンによる弱可動錐予想の解決と、フイブレーディス＝ベルツキーのグローバルトーリー定理をハイパーカラビ-ヤウ多様体に適用する。
• カワマタの定理を用いて双有理写像のフロップへの分解を記述し、双有理自己同型群を記述する。
• フロップがネルン-セバリー群に作用する行列計算を明示的に行い、特定の自己同型の無限位数を示す。
• アーベル多様体上の安定対象のモジュライ空間を用いて、具体的なカラビ-ヤウ3次元多様体を構成し、無理数境界を持つ可動錐を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカール数2の奇数次元カラビ-ヤウ多様体の自己同型群は常に有限か？
• RQ2 ピカール数2のハイパーカラビ-ヤウ多様体において、ネフ錐の有理性は自己同型群の有限性とどのように関係するか？
• RQ3 ピカール数2のカラビ-ヤウ3次元多様体の可動錐予想は、有理曲線の存在と関連づけられるか？
• RQ4 形式 $(x^n)_X = c(q_X(x))^{n/2}$ の二次形式関係が存在しないことは、ピカール数2の偶数次元カラビ-ヤウ多様体の自己同型群の有限性を示唆するか？
• RQ5 ピカール数2の明示的カラビ-ヤウ3次元多様体で、双有理自己同型群が無限大であるものを作成可能か？

主な発見

• ピカール数2の奇数次元カラビ-ヤウ多様体の自己同型群は常に有限である。
• ピカール数2の偶数次元カラビ-ヤウ多様体においては、実二次形式 $q_X(x)$ が $(x^n)_X = c(q_X(x))^{n/2}$ を満たさない限り、自己同型群は有限である。
• ピカール数2のハイパーカラビ-ヤウ多様体では、自己同型群が有限であるための必要十分条件は、ネフ錐の両端の生成線が有理的であることである。
• ピカール数2のハイパーカラビ-ヤウ多様体において、双有理自己同型群が無限大であるための必要十分条件は、可動錐の両端の生成線が無理数的であることである。
• 境界線が無理数的である可動錐を持つ、双有理自己同型群が無限大である明示的カラビ-ヤウ3次元多様体が構成された。
• 双有理自己同型群がネフ錐に作用するとき、有限次元有理的多面体的基本領域を有するため、コーン予想を支持する。