[論文レビュー] Balancing Relevance and Diversity in Online Bipartite Matching via Submodularity

John P. Dickerson, Karthik Abinav Sankararaman+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的到着を伴うオンライン二部グラフにおいて、マッチング済み辺上の単調な部分集合関数を最大化することを目的とするオンライン部分集合的二部マッチング（OSBM）問題を導入する。著者らは、MMP-ALGおよびCR-ALGという新たなアルゴリズムを提案し、定数倍の競合比を達成する。理論的保証と、予算加法的関数およびカバレッジ関数を含む実験的検証が行われている。

ABSTRACT

In bipartite matching problems, vertices on one side of a bipartite graph are paired with those on the other. In its online variant, one side of the graph is available offline, while the vertices on the other side arrive online. When a vertex arrives, an irrevocable and immediate decision should be made by the algorithm; either match it to an available vertex or drop it. Examples of such problems include matching workers to firms, advertisers to keywords, organs to patients, and so on. Much of the literature focuses on maximizing the total relevance---modeled via total weight---of the matching. However, in many real-world problems, it is also important to consider contributions of diversity: hiring a diverse pool of candidates, displaying a relevant but diverse set of ads, and so on. In this paper, we propose the Online Submodular Bipartite Matching (\osbm) problem, where the goal is to maximize a submodular function $f$ over the set of matched edges. This objective is general enough to capture the notion of both diversity (\emph{e.g.,} a weighted coverage function) and relevance (\emph{e.g.,} the traditional linear function)---as well as many other natural objective functions occurring in practice (\emph{e.g.,} limited total budget in advertising settings). We propose novel algorithms that have provable guarantees and are essentially optimal when restricted to various special cases. We also run experiments on real-world and synthetic datasets to validate our algorithms.

研究の動機と目的

• 従来のオンライン二部マッチングが総重み（関連性）にのみ注目するという制限を克服し、目的関数に多様性を組み込む。
• 関連性と多様性の両方を捉えるために、マッチング済み辺上での単調部分集合関数を最大化することを目的とする一般化されたオンラインマッチングモデルであるOSBMを定式化する。
• 確率的到着下でも性能保証が得られる、OSBM問題に対するオンラインアルゴリズムを設計し、証明可能な競合比を達成する。
• 実世界および合成データセット上で提案されたアルゴリズムを検証し、予算加法的関数やカバレッジ関数を含む多様なサブモジュラ目的関数において優れた実験的性能を示す。

提案手法

• 時間枠Tが既知の状況下で、オフライン頂点（U）と確率的到着するオンライン頂点（V）を有するオンライン二部マッチング設定として問題をモデル化する。
• マッチング済み辺上での単調部分集合関数fの最大化を目的関数とし、線形関数（関連性）とカバレッジ関数（多様性）を一般化する。
• 2つのアルゴリズムを提案：MMP-ALG（部分集合的限界利益に基づくマッチング優先）とCR-ALG（LP緩和を用いた競合比分析に基づく）。
• サブモジュラ目的関数の線形計画緩和を用いて理論的競合比を導出し、到着率（rv）と単位容量（各uは最大1回しかマッチしない）の制約を設ける。
• 部分集合最適化とオンラインアルゴリズムの技術を応用し、分数LP解の使用と丸め戦略を用いて、取り消し不能な意思決定を保証する。
• 双対適合法と確率的丸めを組み合わせ、分數解を整數マッチングに変換しながら、競合比を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的到着下でも定数倍の競合比を達成するサブモジュラ二部マッチングのオンラインアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 カバレッジ関数や予算加法的関数のように、関連性と多様性の両方を捉える目的関数において、アルゴリズムの性能はどのようになるか？
• RQ3 オフライン頂点の容量（b）を変化させた場合、競合比と実験的性能にどのような影響が生じるか？
• RQ4 標準的なヒューリスティクス（グリーディ法やNEG-CR）と比較して、提案アルゴリズムは、さまざまなサブモジュラ目的関数において、競合比と頑健性の点で優れているか？

主な発見

• 提案されたMMP-ALGおよびCR-ALGアルゴリズムは、OSBM問題において定数倍の競合比を達成し、さまざまなサブモジュラ目的関数において理論的保証が得られる。
• 予算加法的関数設定では、MMP-ALGとCR-ALGはベースラインヒューリスティクス（グリーディ法とNEG-CR）を著しく上回り、それぞれ0.63および0.20を超える競合比を達成し、理論的ベンチマークを上回る。
• カバレッジ関数では、bが小さい（b=1）場合、グリーディ法が優れるが、bが増加するにつれて、提案アルゴリズムはグリーディ法と同等またはそれを上回る性能を示し、優れたスケーラビリティを示す。
• 競合比はbの増加に伴いわずかに上昇するが、急激な上昇は見られず、b=1の解析が高容量での性能理解の良いプロキシであると考えられる。
• 40個のオフライン頂点と200個のオンラインタイプ（カバレッジ関数）および100個のオフライン頂点と200個のオンラインタイプ（予算加法的関数）を有する合成データセットにおいて、実験結果がアルゴリズムの頑健性と有効性を確認する。
• 実験により、理論的競合比が実際の状況でも意味を持つことが検証され、異なるサブモジュラ関数タイプや到着率分布において一貫した性能を示した。