[論文レビュー] Bar category of modules and homotopy adjunction for tensor functors

Rina Anno, Timothy Logvinenko|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、A∞-圏の機械的構造を回避しつつホモトピー構造を保ちながら、DG圏の導来圏のより実用的なDG強化であるモジュールのバー圏を導入する。テンソル関手に対するホモトピー随伴理論を確立し、関手の球面的ねじれの二乗が、標準的 twisted complex の畳み込みとして得られることを証明する。この畳み込みを計算する4つの明示的なポストニコフ系が提示される。

ABSTRACT

Given a DG-category A we introduce the bar category of modules Modbar(A). It is a DG-enhancement of the derived category D(A) of A which is isomorphic to the category of DG A-modules with A-infinity morphisms between them. However, it is defined intrinsically in the language of DG-categories and requires no complex machinery or sign conventions of A-infinity categories. We define for these bar categories Tensor and Hom bifunctors, dualisation functors, and a convolution of twisted complexes. The intended application is to working with DG-bimodules as enhancements of exact functors between triangulated categories. As a demonstration we develop homotopy adjunction theory for tensor functors between derived categories of DG-categories. It allows us to show in an enhanced setting that given a functor F with left and right adjoints L and R the functorial complex $FR ightarrow FRFR ightarrow FR ightarrow Id$ lifts to a canonical twisted complex whose convolution is the square of the spherical twist of F. We then write down four induced functorial Postnikov towers computing this convolution.

研究の動機と目的

• A∞-圏の技術的複雑さと符号規約を回避しつつ、導来圏のより実用的なDG強化を構築すること。
• DG圏の導来圏間のテンソル関手に対するホモトピー随伴理論を構築すること。
• 関手の球面的ねじれの二乗を実現する、標準的 twisted complex の畳み込みを計算する明示的なポストニコフ系を提供すること。
• 関手的複体 FR → FRFR → FR → Id がバー圏の枠組みにおいて自然に twisted complex に引き上げられることを示すこと。
• 三角的圏における完全関手の強化としてDG双モジュールを扱う計算に実用的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 内在的なDG圏言語を用いて、$\overline{\operatorname{Mod}}\text{-}{\mathcal{A}}$ と表記されるモジュールのバー圏を、$D({\mathcal{A}})$ のDG強化として定義する。
• バー圏内での twisted complex に対するテンソルおよびホム双関手、双対化関手、畳み込み操作を導入する。
• 関手的複体 $FR \xrightarrow{F\operatorname{act}R} FRFR \xrightarrow{FR\operatorname{tr} - \operatorname{tr}FR} FR \xrightarrow{\operatorname{tr}} \operatorname{Id}$ を表す標準的 twisted complex を構成する。
• この twisted complex の畳み込みが、関手 $F$ の球面的ねじれの二乗と同型であることを示す。
• この畳み込みを計算する4つの明示的なポストニコフ系を導出し、構成に対するホモトピー的制御を提供する。
• バー圏を用いることで、特に対角双モジュール $\mathcal{A}$ が標準的枠組みでは $h$-projective でないため、$h$-projective 解体の必要性を回避できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A∞-構造を回避しつつホモトピー的制御を保ちながら、導来圏のDG強化を構築できるか？
• RQ2 DG圏の導来圏間のテンソル関手に対するホモトピー随伴をどのように形式化できるか？
• RQ3 球面的ねじれの二乗を実現する畳み込みをもつ、標準的 twisted complex は何か？
• RQ4 この twisted complex の畳み込みを計算する4つの異なるポストニコフ系を明示的に記述できるか？
• RQ5 バー圏のモジュールは、$h$-projective モジュールやドリンフェルト商といった標準的強化と比較して、計算の実行可能性をどのように向上させるか？

主な発見

• バー圏 $\overline{\operatorname{Mod}}\text{-}{\mathcal{A}}$ は、$D({\mathcal{A}})$ のDG強化を提供する。これはA∞-射影の同型なDG${\mathcal{A}}$-モジュールの圏に同型であるが、A∞-圏の機械的構造を必要としない。
• 対角双モジュール $\mathcal{A}$ はバー圏において自然に $h$-projective であるため、恒等関手の構成における解体の必要性が回避される。
• 関手的複体 $FR \xrightarrow{F\operatorname{act}R} FRFR \xrightarrow{FR\operatorname{tr} - \operatorname{tr}FR} FR \xrightarrow{\operatorname{tr}} \operatorname{Id}$ は、バー圏において自然に twisted complex に引き上げられる。
• この twisted complex の畳み込みは、関手 $F$ の球面的ねじれの二乗と同型であり、古典的な球面的ねじれの公式のホモトピー的上に上げられたものである。
• この畳み込みを計算する4つの異なるポストニコフ系が構成され、同じ対象に対する複数のホモトピー的分解を提供する。
• この枠組みにより、特にフォーリエ＝ムカイ型関手に対して、自然変換のホモトピー的構造を安定化させることで、DG双モジュール理論における明示的計算が可能になる。