[論文レビュー] Bermudan options by simulation

L. C. G. Rogers|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文では、マルコフ近似と双対性を用いて、高次元のバミューダン・オプションの価格をシミュレーションベースで汎用的に評価する手法を提示する。下位の過程をシミュレートし、状態をビンに分け、停止則とヘッジ則を生成することで、次元に依存せず数秒で高精度な上限・下限価格を得られる。通常、上限と下限の差は5–10%程度であり、基礎資産の数に依存しない。

ABSTRACT

The aim of this study is to devise numerical methods for dealing with very high-dimensional Bermudan-style derivatives. For such problems, we quickly see that we can at best hope for price bounds, and we can only use a simulation approach. We use the approach of Barraquand & Martineau which proposes that the reward process should be treated as if it were Markovian, and then uses this to generate a stopping rule and hence a lower bound on the price. Using the dual approach introduced by Rogers, and Haugh & Kogan, this approximate Markov process leads us to hedging strategies, and upper bounds on the price. The methodology is generic, and is illustrated on eight examples of varying levels of difficulty. Run times are largely insensitive to dimension.

研究の動機と目的

• 次元の呪いにより従来の動的計画法が機能しなくなる高次元のバミューダン・オプションの価格評価のための汎用的数値手法を開発すること。
• 価値関数の明示的解法を必要とせず、計算効率の良い上限・下限価格を提供すること。
• 下位のマルコフ過程のシミュレーションのみを用いて、最適停止およびヘッジ戦略の実装を可能とすること。
• 基礎資産の数に関係なく、さまざまな金融デリバティブに対して効果的かつスケーラブルな手法を維持すること。
• モデルの不確実性や推定誤差に対してロバストなフレームワークを提供し、現実の市場スプレッドを反映した価格帯を提供すること。

提案手法

• 状態空間をビンに離散化することで報酬過程をマルコフ的と近似し、遷移確率のシミュレーションベース計算を可能にする。
• Barraquand & Martineauの手法を用いて、ビン化されたマルコフ過程に基づく停止則を導出し、オプション価格の下限を得る。
• RogersおよびHaugh & Koganの双対法を適用し、同一のビン化過程から導かれるヘッジ戦略を用いて上限を生成する。
• 両方の価格帯は、プロセスとペイオフ関数を除き同じコードを用いるモンテカルロシミュレーションにより評価される。
• アプローチは次元に依存しない：高次元の価値関数の保存や解法を避けるため、基礎資産が何百個あっても計算コストは低く保たれる。
• 下位のマルコフ過程の1ステップのシミュレーションが可能であることに依存するため、複雑なデリバティブに広く適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元の呪いにより従来の動的計画法が非現実的になる高次元のバミューダン・オプションを、どのように効果的に価格付けできるか？
• RQ2 価値関数の完全な解法を必要とせず、シミュレーションベースの手法がどれほどタイトで信頼性のあるデリバティブ価格帯を生成できるか？
• RQ3 高次元の状況において、単純かつ効果的な実装可能な停止則とヘッジ則をどのように構築できるか？
• RQ4 モデル近似と離散化が、現実の金融状況における価格帯の精度に及ぼす影響は何か？
• RQ5 問題固有のチューニングを最小限に抑え、多様なデリバティブに応用可能な汎用的で再利用可能なアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 上限と下限の価格帯は通常5–10%以内に収まり、実際の推定誤差やモデル不確実性と整合的である。
• 計算時間は次元にほとんど依存せず、基礎資産が何百個あっても通常数10秒の実行時間で済む。
• 明示的かつ実装可能な停止則とヘッジ則が、シミュレーションとビン化プロセスから直接得られる。
• 同じコードを用いて、基礎プロセスとペイオフ関数を変更するだけで、任意のバミューダン・オプションを価格付け可能である。
• 価格帯はモデル不確実性に対してロバストである。最大の誤差要因は、報酬過程のマルコフ近似であり、シミュレーションやビン化によるものではない。
• 固定ストライクのバミューダン・アジアン・オプションのような問題では、状態空間が不十分に表現されると性能が低下するため、より豊かな状態表現の必要性が浮き彫りになる。