[論文レビュー] Tautological relations in moduli spaces of weighted pointed curves

Felix Janda|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、安定商幾何を用いて、重み付き点付き曲線のモジュライ空間へFaber-Zagier関係を拡張し、Faber-Zagier型のタウトロジカル関係を導出する。重みがすべて1のとき、これらの関係がPixtonの一般化されたFZ関係を回復することを示し、$​\overline{M}_g$ 上の普遍曲線の$n$重積に対するFZ関係の定式化を提供する。構成は形式的べき級数、括弧作用素、およびクラッチング写像に沿った押し出しを用い、重み削減写像においても整合性を保つ。

ABSTRACT

Pandharipande-Pixton have used the geometry of the moduli space of stable quotients to produce relations between tautological Chow classes on the moduli space $M_g$ of smooth genus g curves. We study a natural extension of their methods to the boundary and more generally to Hassett's moduli spaces $\overline M_{g, w}$ of stable nodal curves with weighted marked points. Algebraic manipulation of these relations brings them into a Faber-Zagier type form. We show that they give Pixton's generalized FZ relations when all weights are one. As a special case, we give a formulation of FZ relations for the n-fold product of the universal curve over $M_g$.

研究の動機と目的

• Hassettの重み付き点付き安定曲線のモジュライ空間$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$へFaber-Zagier関係を一般化すること。
• 安定商幾何を用いて、これらのモジュライ空間におけるタウトロジカル関係を体系的に導出する方法を確立すること。
• すべての重みが1のとき、導出された関係がPixtonの一般化されたFaber-Zagier関係に還元されることを示すこと。
• 普遍曲線の$\overline{M}_g$ 上の$n$重積に対するFZ関係の定式化を提供すること。
• 形式的押し出し、引き戻し、およびタウトロジカルクラスによる乗算に関して、関係の集合が閉じていることを示すこと。

提案手法

• 安定商のモジュライ空間の幾何を用いて、$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ におけるタウトロジカル関係を生成する。
• 超幾何級数およびベルヌーイ級数に関係する形式的べき級数$A(t)$, $B(t)$、および再帰的に定義された$C_i(t)$を用いる。
• 括弧作用素$\{\}_{\kappa}^\zeta$, $\{\}_{\psi}^\zeta$, および$\{\}_{D_S}^\zeta$ を用い、べき級数に$\kappa$, $\psi$, および対角クラスを挿入する。
• 頂点およびエッジの因子$\mathrm{Vertex}^5_v$, $\mathrm{Edge}^5_e$ を、符号$\zeta(v)$および重みを含む生成関数において構成する。
• クラッチング写像$\xi_\Gamma$および自己同型因子$|\operatorname{Aut}(\Gamma)|^{-1}$ を含む生成関数から、極端な係数抽出により関係を導出する。
• 忘れ去り写像および重み削減写像に沿った押し出しを用い、異なる重みデータ$\mathbf{w}$ と $\mathbf{w}'\leq\mathbf{w}$ 間の関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定商幾何を用いて、重み付き点付き曲線のモジュライ空間$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ へFaber-Zagier関係を拡張できるか？
• RQ2 重みがすべて1のとき、$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ における導出されたタウトロジカル関係は、Pixtonの一般化されたFZ関係に還元されるか？
• RQ3 本手法を用いて、$\overline{M}_g$ 上の普遍曲線の$n$重積にFZ関係の定式化を導入できるか？
• RQ4 タウトロジカル関係の集合は、形式的押し出し、引き戻し、およびタウトロジカルクラスによる乗算に関して閉じているか？
• RQ5 重み削減写像$\mathbf{w} \to \mathbf{w}'\leq\mathbf{w}$ において、関係はどのように振る舞うか？

主な発見

• すべての重み$w_i = 1$ のとき、$\overline{M}_{g,\mathbf{w}}$ における導出された関係が、Pixtonの一般化されたFaber-Zagier関係と同値であることが示された。
• 関係は、$\overline{M}_g$ 上の普遍曲線の$n$重積に対するFZ関係を特別な場合として回復する。
• $\mathcal{R}_{g,\mathbf{w}}$ の関係の集合は、忘れ去り写像および接続写像に沿った形式的押し出しと引き戻しに関して閉じている。
• $\mathbf{w} \to \mathbf{w}'$ における重み削減写像の下で関係の押し出しは、定数倍を除き、$\mathcal{R}_{g,\mathbf{w}'}$ の対応する関係を与える。
• 関係は形式的ストラタ代数と整合性を保ち、指数$e_\Gamma$ が整数でないとき、符号反転色分け$\zeta \to -\zeta$ に対して不変のままである。
• 本手法は極端な安定商関係をすべて捉え、残りの関係についてもFZ形式で表現可能であると予想される。