[論文レビュー] Big mapping class groups with hyperbolic actions: classification and applications

Camille Horbez, Yulan Qing+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、無限型の表面の大きなマッピングクラス群が双曲空間への連続で非自明な等長作用をもつための条件を分類し、そのような作用が存在するための必要十分条件として、表面に有限型の非可動部分表面が存在することを示している。構成では、この部分表面のすべてのマッピングクラス群による軌道の曲線グラフの準木構造を用い、有界コホロジーおよびSQ-普遍性への応用が得られる。

ABSTRACT

We address the question of determining which mapping class groups of infinite-type surfaces admit nonelementary continuous actions on hyperbolic spaces. More precisely, let $\\Sigma$ be a connected, orientable surface of infinite type with tame endspace whose mapping class group is generated by a coarsely bounded subset. We prove that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ admits a continuous nonelementary action on a hyperbolic space if and only if $\\Sigma$ contains a finite-type subsurface which intersects all its homeomorphic translates. When $\\Sigma$ contains such a nondisplaceable subsurface $K$ of finite type, the hyperbolic space we build is constructed from the curve graphs of $K$ and its homeomorphic translates via a construction of Bestvina, Bromberg and Fujiwara. Our construction has several applications: first, the second bounded cohomology of $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains an embedded $\\ell^1$; second, using work of Dahmani, Guirardel and Osin, we deduce that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains nontrivial normal free subgroups (while it does not if $\\Sigma$ has no nondisplaceable subsurface of finite type), has uncountably many quotients and is SQ-universal.

研究の動機と目的

• 無限型の表面のマッピングクラス群が双曲空間への連続で非自明な等長作用をもつための位相的条件を特定すること。
• 表面に非可動な有限型部分表面が存在するか否かを用いて、そのような作用を分類すること。
• 構築された双曲作用を通じて、代数的帰結（例えば、SQ-普遍性や正規自由部分群の存在）を確立すること。
• ベストヴィナ＝ブロムバーグ＝フジワラの準木構造による空間の構成を用いて、有限型マッピングクラス群の技法（例えば、曲線グラフ、WWPD性質）を無限型設定に拡張すること。
• 表面にそのような部分表面が存在しない場合、滑らかさとCB生成の仮定の下で、任意の双曲空間への連続で非自明な作用が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 固定された有限型非可動部分表面 $K$ の $\mathrm{Map}(\Sigma)$-軌道のすべての曲線グラフを部品とする、距離空間の準木構造として双曲空間 $\mathbb{X}$ を構成する。
• ベストヴィナ＝ブロムバーグ＝フジワラの構成を適用し、$\mathbb{X}$ が $\delta$-双曲的であり、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ の連続等長作用を許容することを保証する。
• $K$ を保存し、$K$ 上でペアノソフ的であると作用する要素が、$\mathbb{X}$ 上の作用に関してWWPD性質を満たすことを、グロモフ境界上の離散軌道条件を用いて証明する。
• このようなWWPD要素の存在を根拠に、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ の第二有界コホモロジーが $\ell^1$-空間を埋め込むことを示す。
• ダマンイ＝ギュイアールデル＝オシンの結果を応用し、$K$ が存在する場合、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ がSQ-普遍的であり、非可算個の商をもつことを示す。
• genus とエンド型の不変量を用いて、$\mathrm{Map}^0(\Sigma) \to \mathbb{Z}^n$ の上への準同型 $\Phi$ とそのセクションを構成し、ハンドル体群の閉包を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限型の表面 $\Sigma$ に対して、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ が双曲空間への連続で非自明な等長作用をもつための位相的条件は何か？
• RQ2 そのような双曲作用から、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ のどのような代数的性質を導けるか？
• RQ3 表面に非可動な有限型部分表面 $K$ が存在するか否かが、そのような作用の存在に与える影響は何か？
• RQ4 無限型設定においてWWPD性質を達成できるか？ そしてそれは有界コホモロジーにどのような意味を持つのか？
• RQ5 そのような作用が存在する場合、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ に及ぼす構造的帰結（例えば、SQ-普遍性や正規自由部分群の存在）は何か？

主な発見

• $\mathrm{Map}(\Sigma)$ が双曲空間への連続で非自明な等長作用をもつための必要十分条件は、$\Sigma$ がすべての同相的軌道と交わる有限型部分表面を含むことである。
• 非可動部分表面 $K$ が存在する場合、構築された双曲空間 $\mathbb{X}$ は、$K$ のすべての $\mathrm{Map}(\Sigma)$-軌道の曲線グラフの準木である。
• $K$ の同値類を保存し、$K$ 上でペアノソフ的であると作用する $\mathrm{Map}(\Sigma)$ のすべての要素は、$\mathbb{X}$ 上の作用に関してWWPD性質を満たす。
• WWPD作用のおかげで、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ の第二有界コホモロジーには $\ell^1$-空間が埋め込まれる。
• $\mathrm{Map}(\Sigma)$ がCB生成であり、エンド空間が滑らかであれば、非可動な有限型部分表面が存在しないことは、任意の双曲空間への連続で非自明な作用が存在しないことを意味する。
• そのような部分表面が存在する場合、$\mathrm{Map}(\Sigma)$ はSQ-普遍的であり、非可算個の商をもち、非自明な正規自由部分群を含む。