[論文レビュー] BiHom-pre-alternative algebras and BiHom-alternative quadri-algebras

Tewfik Chtioui, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$ϴ$-作用素とRota-Baxter作用素を用いて構造的関係を確立することで、古典的な代替的およびdendriform型代数のねじれ一般化として、BiHom-前代替代数およびBiHom-代替四重代数を導入する。主な貢献は、BiHom-前代替代数上の可逆$ϴ$-作用素が、それと整合性を持つBiHom-代替四重代数構造を誘導することの証明であり、また、このような代数上の重みゼロのRota-Baxter作用素が、作用素の変形によって新たな四重代数構造を生成することを示している。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study the notion of BiHom-pre-alternative algebra which may be viewed as a BiHom-alternative algebra whose product can be decomposed into two compatible pieces. Furthermore, we introduce the notion of BiHom-alternative quadri-algebra and show the connections between all these algebraic structures using Rota-Baxter operators and O-operators.

研究の動機と目的

• 前代替代数のねじれ一般化としてのBiHom-前代替代数を導入し、それらを研究すること。
• BiHom-代替四重代数を定義し、その代数的構造とBiHom-前代替代数との整合性を調査すること。
• 重みゼロの$ϴ$-作用素とRota-Baxter作用素を用いて、これらの構造の間の関係を確立すること。
• ねじれと作用素構成を用いて、結合的および代替的代数理論における既知の結果をBiHom設定に一般化すること。

提案手法

• 2つの可換な代数自己準同型$\alpha$と$β$を含むねじれ結合子を用いて、BiHom-代替代数を導入する。
• 積が2つの整合性を持つ作用素に分解され、ねじれ左および右代替恒等式を満たす代数として、BiHom-前代替代数を定義する。
• $ϴ$-作用素を用いて、BiHom-前代替代数とBiHom-代替四重代数を関連させ、可逆$ϴ$-作用素が整合性を持つ四重代数構造を誘導することを示す。
• BiHom-前代替代数上の重みゼロのRota-Baxter作用素を用いて、変形された作用素による新しいBiHom-代替四重代数構造を構成する。
• BiHom-代替代数上に可換なRota-Baxter作用素が存在する場合、それらがその台となる空間上にBiHom-前代替代数構造を誘導することを証明する。
• 半直積構成法を用いて、双モジュラと$ϴ$-作用素から、新しいBiHom-代替代数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの代数自己準同型によるねじれを用いて、前代替代数の概念をBiHom設定にどのように一般化できるか。
• RQ2 BiHom-前代替代数が、整合性を持つBiHom-代替四重代数構造を誘導するための条件は何か。
• RQ3 $ϴ$-作用素がBiHom-前代替代数とBiHom-代替四重代数の間の橋渡しとして果たす役割は何か。
• RQ4 BiHom-前代替代数上の重みゼロのRota-Baxter作用素が、どのように新たなBiHom-代替四重代数構造を生成するか。
• RQ5 可換なRota-Baxter作用素が、BiHomフレームワーク内でのネストされた代数的構造の構築において果たす役割は何か。

主な発見

• 可逆$ϴ$-作用素$T$がBiHom-前代替代数$(A,\prec,\succ,\alpha,\beta)$上で作用するとき、$x\searrow y = T(L_{\succ}(x)T^{-1}(y))$、$x\nearrow y = T(R_{\succ}(y)T^{-1}(x))$、$x\swarrow y = T(L_{\prec}(x)T^{-1}(y))$、および$x\nwarrow y = T(R_{\prec}(y)T^{-1}(x))$により、$A$上に整合性を持つBiHom-代替四重代数構造が誘導される。
• BiHom-代替四重代数が与えられたとき、その関連する水平BiHom-前代替代数上で恒等写像は可逆$ϴ$-作用素であり、両構造間に双対性が存在することが示される。
• BiHom-前代替代数上で重みゼロのRota-Baxter作用素$R$が作用する場合、$x\searrow_R y = R(x)\succ y$、$x\nearrow_R y = x\succ R(y)$、$x\swarrow_R y = R(x)\prec y$、$x\nwarrow_R y = x\prec R(y)$により、新たなBiHom-代替四重代数構造が誘導される。
• BiHom-代替代数上で可換な重みゼロのRota-Baxter作用素$R$と$P$が存在する場合、$x\prec_R y = xR(y)$および$x\succ_R y = R(x)y$により定義されるBiHom-前代替代数上でも$P$はRota-Baxter作用素として作用する。
• 半直積構成法により、双モジュラとBiHom-代替代数が、より大きなBiHom-代替代数に変換され、新しい例を生成するための手法が提供される。
• BiHom-代替四重代数の作用素は、その下位のBiHom-前代替代数と整合性を持つことが、恒等式$x\succ y = x\nearrow y + x\searrow y$および$x\prec y = x\nwarrow y + x\swarrow y$により示されている。