[論文レビュー] Birational contraction of genus two tails in the moduli space of genus four curves I

Donghoon Hyeon, Yongnam Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、種数4の曲線に対して、$\alpha \in (2/3, 7/10)$ における対数 canonical モデル $\bar{M}_4(\alpha)$ が、$h$-半安定曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_4^{hs}$ に同型であることを確立する。また、ノード、通常の尖点、接点をもつ点付き種数2曲線の新しいモジュライ空間 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ を構成し、それがルラのフリップに同型であることを証明する。主な結果は、$\bar{M}_4^{hs}$ から $\bar{M}_4(2/3)$ への双有理写像 $\Xi$ であり、これは、ある成分上でワイエルシュトラス点であるノードと接続する種数2の尾を持つ曲線（ワイエルシュトラス種数2尾）の部分集合を収縮する。

ABSTRACT

We show that for $α\in (2/3, 7/10)$, the log canonical model $\bar M_4(α)$ of the pair $(\bar M_4, αδ)$ is isomorphic to the moduli space $\bar M_4^{hs}$ of h-semistable curves, and that there is a birational morphism $Ξ: \bar M_4^{hs} o \bar M_4(2/3)$ that contracts the locus of curves $C_1\cup_p C_2$ consisting of genus two curves meeting in a node $p$ such that $p$ is a Weierstrass point of $C_1$ or $C_2$. To obtain this morphism, we construct a compact moduli space $\bar M_{2,1}^{hs}$ of pointed genus two curves that have nodes, ordinary cusps and tacnodes as singularity, and prove that it is isomorphic to Rulla's flip constructed in his thesis.

研究の動機と目的

• 対数 canonical モデル $\bar{M}_4(\alpha)$ と $h$-半安定曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_4^{hs}$ の同型性を、$\alpha \in (2/3, 7/10)$ の範囲で確立すること。
• ノード、通常の尖点、接点をもつ点付き種数2曲線の新しいコンパクトモジュライ空間 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ を構成すること。
• $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ がルラの $\bar{M}_{2,1}^{ps}$ のフリップに同型であることを証明し、これによりフリップにモジュラー解釈を与えること。
• $\bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$ である双有理写像 $\Xi$ が、種数4曲線のモジュライ空間内でワイエルシュトラス種数2尾の部分集合を収縮することを示すこと。

提案手法

• 指定された特異点をもつ点付き種数2曲線のための幾何学的不変式論（GIT）を用いたモジュライ空間 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ の構成。
• 1-パラメータ部分群の作用と安定性条件の分析により、$\bar{M}_{2,1}^{hs}$ がルラのフリップに同型であることを証明すること。
• ヒルベルト安定性とチャウ安定性の関係を用いて、平坦な退化において特殊ファイバーから全ファイバーへの安定性の持ち上げを実行すること。
• ムムフォードの安定性置換定理を適用し、DVR 上の滑らかな曲線の族を、特殊ファイバーが元の曲線と一致する半安定族に拡張すること。
• 線形化における1-パラメータ部分群の作用の重みを分析し、安定性を決定する。特に、ヒルベルト不安定性の場合は $\mu^{\mathcal{L}_m} < 0$ の場合に注目する。
• 無限大の自己同型をもつ $c$-半安定な点付き曲線は、命題4.10で得られる唯一の曲線 $(C^\star, p)$ の形であることを示し、他の退化の可能性を除外すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数 canonical モデル $\bar{M}_4(\alpha)$（$\alpha \in (2/3, 7/10)$）は、$h$-半安定曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_4^{hs}$ に同型であるか？
• RQ2 GITを用いてノード、尖点、接点をもつ点付き種数2曲線の新しいモジュライ空間 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ を構成でき、かつルラのフリップに同型であるか？
• RQ3 双有理写像 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$ は、正確にワイエルシュトラス種数2尾の部分集合を収縮するか？
• RQ4 ビカノニカル埋め込みの文脈において、ヒルベルト安定性と canonical バンドルの線形化との間の正確な関係は何か？
• RQ5 ワイエルシュトラス種数2尾の部分集合の収縮は、モジュライ空間において幾何学的および位相的にどのように特徴づけられるか？

主な発見

• $\alpha \in (2/3, 7/10)$ の範囲で、対数 canonical モデル $\bar{M}_4(\alpha)$ は、$h$-半安定曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_4^{hs}$ に同型である。
• ノード、通常の尖点、接点をもつ点付き種数2曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ はGITを用いて構成され、$\bar{M}_{2,1}^{ps}$ のルラのフリップに同型である。
• 双有理写像 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$ が存在し、これは $C_1 \cup_p C_2$ の形の曲線の部分集合を収縮する。ここで $C_1$ と $C_2$ は種数2曲線であり、ノード $p$ で接続されており、$p$ は $C_1$ または $C_2$ のワイエルシュトラス点である。
• この構成は、無限大の自己同型をもつ $c$-半安定な点付き曲線が、命題4.10で得られる唯一の曲線 $(C^\star, p)$ の形である必要があることから生じる。これにより、他の退化の可能性が除外される。
• 証明は安定性置換定理と、ヒルベルト不安定性が負の重みを持つ1-パラメータ部分群の存在を意味することを用いる。もし曲線が $c$-半安定で $(C^\star, p)$ の形でなければ、これは矛盾を引き起こす。
• 重要な不等式 $\textup{deg}\,C_1 - 2\,\textup{deg}\,_{C_1}(\omega_C(p)) \leq w/2$ が、ワイエルシュトラス点の寄与度の上限を定め、退化における特定の構成を除外するために用いられる。