[論文レビュー] Bivariant Chern classes and Grothendieck transformations

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、被覆が有理ホモロジー多様体（例えばオルビフォールドを含む）であるような準同型写像に対して、再び定義された双変チャーン類の一意性を、構成可能関数の精密な双変理論から対応する双変ホモロジー理論への標準的グロテンディーク変換を構成することによって確立する。主な貢献は、共変チャーン＝シュヴァルツ＝マクファーソン類を拡張し、フルトゥンとマクファーソンが双変理論において提起した長年の一意性の問題を解消する、一意的かつ正規化された変換 $\omega: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$ を得ることにある。

ABSTRACT

The existence of bivariant Chern classes was conjectured by W.Fulton and R.MacPherson and proved by J.P.Brasselet for cellular morphisms of analytic varieties. In this paper we show that restricted to morphisms whose target varieties are possible singular but (rational) homology manifolds, the bivariant Chern classes (with rational coefficients) are uniquely determined. In the final sections we construct a unique bivariant Chern class satisfying a suitable normalization condition. In fact, it will be a special case of a general construction of unique Grothendieck transformations, which in a sense gives a positive answer to a corresponding question posed by Fulton and MacPherson. This construction generalizes and unifies previous attemps, in particular the main result of the paper math.AG/0209299.

研究の動機と目的

• 特異的ではあるが有理ホモロジー多様体である被覆を持つ準同型写像に対する双変チャーン類の一意性問題を解消すること。
• 外積と可換な共変変換から一意に拡張可能な、双変理論の構成可能関数から双変ホモロジー理論へのグロテンディーク変換 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$ を構成すること。
• 双変理論におけるグロテンディーク変換に関するフルトゥンとマクファーソンの質問に肯定的な回答を与えること。
• 外積と可換な共変理論から、外積と可換な双変理論への一意的拡張が可能であることを示すこと。

提案手法

• 構成可能関数の双変理論 $\widetilde{\mathbb{F}}$ とそれに対応する双変ホモロジー理論 $\widetilde{\mathbb{H}}$ を構成する。
• チャーン＝シュヴァルツ＝マクファーソン類と整合する正規化条件を用いて、グロテンディーク変換 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$ を定義する。
• 与えられた共変変換 $c_*$ が外積と可換であることを利用して、それを双変グロテンディーク変換に一意に拡張する。
• 双対性作用素 $\operatorname{op}_{\mathbb{PH}}$ を適用して、変換を $c_*$ の像に関連づけ、単射性と一意性を保証する。
• チャウエンベロープと引き戻しの単射性を用いて、双変類の同値関係が自明であることを確認し、変換が適切に定義されていることを検証する。
• 引き戻しと押し出しに関する可換図式を確立して、変換 $\widetilde{\gamma}^\text{op}$ の一意性、したがって $\widetilde{\gamma}$ の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆多様体 $Y$ が特異的であっても有理ホモロジー多様体である場合、双変チャーン類は一意に定まるか？
• RQ2 外積と可換な共変変換から、構成可能関数の双変理論から双変ホモロジー理論へのグロテンディーク変換を一意に拡張できるか？
• RQ3 正規化条件が、有理ホモロジー多様体を被覆とする双変理論の文脈で、双変チャーン類の一意性を一意に固定するか？
• RQ4 構成された変換 $\widetilde{\gamma}$ は、[Y2] の $\gamma^\vee$ や [EY2] の $\widehat{\gamma}$ といった既存の構成とどのように関係するか？
• RQ5 双対性作用素 $\operatorname{op}_{\mathbb{PH}}$ は、グロテンディーク変換の一意性を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 被覆 $Y$ が有理ホモロジー多様体（特異的であっても）であるような準同型写像 $f: X \to Y$ に対して、双変チャーン類は一意に定まる。
• 正規化条件を満たす一意なグロテンディーク変換 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$ が存在し、$Y$ が点である場合にチャーン＝シュヴァルツ＝マクファーソン類を回復する。
• $\widetilde{\gamma}^\text{op} = \widetilde{\operatorname{op}}_{\mathbb{PH}} \circ \widetilde{\gamma}$ は、関連する可換図式における垂直マップが全射であり、$\widetilde{\operatorname{op}}_{\mathbb{PH}}$ が単射であることから、一意に定まる。
• この構成により、[FM, §10.9] における一意性の質問に肯定的な回答が得られ、外積と可換な条件のもとで、このような変換が一意に拡張可能であることが示された。
• $\widetilde{\mathbb{F}}$ が [Y2] の $\mathbb{F}^\vee$ の部分理論であることが示され、変換 $\widetilde{\gamma}$ は最大の操作的変換 $\gamma^\vee$ と真のグロテンディーク変換 $\gamma$ の間を補間する。
• 結果として、[EY2] の $\widehat{\gamma}$ の構成が特殊な場合として回復され、$\iota_{\mathbb{A}}: \widetilde{\mathbb{A}} \to \mathbb{A}$ が双変引き戻しの単射性により単射であることが保証される。