[論文レビュー] Bivariate Discrete Exponentiated Weibull Distribution: Properties and Applications

Mahmoud El-Morshedy, Alamgir Khalil|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、柔軟なハザードレート形状を有する従属カウントデータをモデル化するための新しい5パラメータの2変量離散指数ワイブル（BDEW）分布を提案する。本稿では主要な統計的性質を導出するとともに、最尤推定法を用いてパラメータを推定し、2つの実データ応用を通じて、AIC、BIC、CAIC、および-2log-likelihoodの値が低くなることから、BDEWは他の競合モデルよりもフィットが優れていることを示している。

ABSTRACT

In this paper, a new bivariate discrete distribution is introduced which called bivariate discrete exponentiated Weibull (BDEW) distribution. Several of its mathematical statistical properties are derived such as the joint cumulative distribution function, the joint joint hazard rate function, probability mass function, joint moment generating function, mathematical expectation and reliability function for stress-strength model. Further, the parameters of the BDEW distribution are estimated by the maximum likelihood method. Two real data sets are analyzed, and it was found that the BDEW distribution provides better fit than other discrete distributions.

研究の動機と目的

• 従属カウントデータをモデル化するための、ハザードレート行動に柔軟性を有する新しい2変量離散分布の開発。
• 単変量の指数ワイブル離散分布を2変量フレームワークに拡張し、ペアド離散事象のより良いモデリングを実現。
• ストレス・ストレングスモデルのための、同時CDF、PMF、モーメント生成関数、および信頼性関数を含む包括的な統計的性質の導出。
• 実用的応用のための最尤推定法（MLE）によるモデルパラメータの推定。
• 実データセットを用いて、BDEW分布の性能を、既存の2変量離散モデルと比較して評価。

提案手法

• 連続的な指数ワイブル分布の床関数による離散化を用いてBDEW分布を定義する：$ X = [Y] $、ここで $ Y \sim EW(\alpha, \lambda, \beta) $ かつ $ \lambda = -\ln(p) $。
• 同時確率質量関数（PMF）を $ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2) = F(x_1, x_2) - F(x_1-1, x_2) - F(x_1, x_2-1) + F(x_1-1, x_2-1) $ として導出する。ここで $ F(x_1, x_2) $ は同時CDFを表す。
• 従属関係およびモーメントを特徴付けるために、同時モーメント生成関数および同時確率母関数（PGF）を取得する。
• 周辺分布および条件付き分布を導出し、$ P(X_1 = x_1 | X_2 = x_2) $、$ F_{X_1|X_2}(x_1 | x_2) $、および条件付き期待値 $ E(X_1 | X_2 = x_2) $ を含む。
• 対数尤度関数から導出された5つの非線形方程式の連立系を解くことで、パラメータ $ \alpha, p, \beta_1, \beta_2, \beta_3 $ を最尤推定法で推定する。
• 情報量基準（AIC、BIC、CAIC、HQIC）および最大化された対数尤度（-L）を用いて、競合モデル間のモデルフィットを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数ワイブル分布の柔軟性を継承しつつ、従属カウントデータのモデリングが可能な2変量離散分布を構築できるか？
• RQ2 提案されたBDEW分布の主な統計的性質（同時PMF、CDF、MGF、信頼性関数など）は何か？
• RQ3 BDEW分布は、既存のモデル（2変量幾何分布、2変量ポアソン、独立2変量ポアソンなど）と比較して、実2変量カウントデータへの適合性はどの程度か？
• RQ4 BDEW分布は、両変数における多様なハザードレート行動を効果的にモデリングできるか？
• RQ5 実データを用いた実用的応用において、BDEWモデルの最尤推定法の性能はいかがであるか？

主な発見

• イタリアのサッバーリーグ対戦スコアデータに対して、BDEW分布は競合モデル（BG、IBP、BP、BP min、BDGE、BDERe）よりも優れたフィットを示し、-2log-likelihood（158.42）、AIC（168.42）、CAIC（170.12）、BIC（172.15）、HQIC（169.10）の値が最小であった。
• スプリンターズ競技会のスコアに対して、BDEWモデルは全テスト済み分布の中で最小の-2log-likelihood（128.31）、AIC（138.31）、CAIC（140.01）、BIC（142.04）、HQIC（139.02）の値を達成した。
• BDEW分布は、その柔軟なパラメータ化のおかげで、2変量カウントデータにおける複雑な依存構造と多様なハザードレート行動を効果的に捉えている。
• BDEWパラメータの最尤推定器が導出され、非線形方程式連立系の数値的解法によって実用可能であることが示された。
• 両方の実データ応用において、BDEWモデルは2変量幾何分布、2変量ポアソン、および独立2変量ポアソンモデルを上回る適合度を示しており、優れた適合性が裏付けられている。
• BDEW分布の同時PMFおよびCDFは、連続的指数ワイブル分布の床関数変換を用いて導出されており、確率および生存関数の正確な計算を可能としている。