[論文レビュー] Black holes and closed trapped surfaces: a revision of a classic theorem

Clarissa–Marie Claudel|ArXiv.org|May 10, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、弱く漸近的に単純で空である（WASE）時空における未来の光的無限遠（$\ mathscr{I}^+$）から閉じた捕獲面が見えないという一般相対性理論の古典的定理を再検討する。ハーキングとエリスの元々の証明には、WASE時空の定義が不十分であるという欠陥が存在し、より制限的な定義を用いた厳密な証明を提示する。これにより、光の収束条件と弱い宇宙的遮断仮説の下で、閉じた捕獲面は$\ mathscr{I}^+$から見えないことが確立される。

ABSTRACT

It is standard assertion in relativity that, subject to an energy condition and the cosmic censorship hypothesis, closed trapped surfaces are not visible from future null infinity. A proof given by Hawking & Ellis in ''The Large Scale Structure of Space-Time'' is flawed since it is formulated in terms of an inadequate definition of a weakly asymptotically simple and empty space-time. A new proof is given based on a more restrictive definition of a weakly asymptotically simple and empty space-time.

研究の動機と目的

• ハーキングとエリスによる、WASE時空における$\ mathscr{I}^+$から閉じた捕獲面が見えないという証明における基礎的欠陥を是正すること。
• 光の収束条件と弱い宇宙的遮断仮説の下で、一般相対性理論の伝統的信念（閉じた捕獲面は未来の光的無限遠から見えない）を厳密に証明すること。
• ハーキングとエリスが用いた元のWASE時空の定義が、この定理の証明に不十分であることを示し、より制限的な定式化を必要とすることを明らかにすること。
• 因果構造と漸近的構造が、ブラックホール形成および宇宙的遮断仮説の文脈で果たす役割を明確にすること。
• [2]で得られた改訂版WASE定義に基づく、宇宙的遮断定理のクラスの基礎的結果を提供すること。

提案手法

• 文献[2]から得た、弱く漸近的に単純で空である（WASE）時空の洗練された定義を採用し、強い因果性および光線の特定の漸近的挙動を要請する。
• 未来の光的無限遠$\ mathscr{I}^+$が適切に定義された時空の漸近的構造をモデル化するため、漸近的対象$(\widetilde{M}, \widetilde{g}, \Omega, \psi)$の概念を用いる。
• エネルギー条件が満たされるように、光の収束条件を適用する。これは因果構造の定理において不可欠である。
• 光線に沿ったヤコビ場の解析を用いて、共役点が有限のアフィンパラメータ時間内に発生することを示し、捕獲面が$\ mathscr{I}^+$から見えていると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 背理法を用いる：もし閉じた捕獲面が$\ mathscr{I}^+$から見えているならば、その表面から$\ mathscr{I}^+$への時間的曲線を構成できるが、これは時空の因果構造に反する。
• WASE時空では、すべての延長不能な光線が$\ partial\widetilde{M}$の二点（一つは$\ mathscr{I}^+$、もう一つは$\ mathscr{I}^-$）に到達することを根拠とし、グローバルな因果構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーキングとエリスの元々のWASE時空の定義のもとで、閉じた捕獲面が$\ mathscr{I}^+$から見えないという証明は有効か？
• RQ2 より制限的なWASE時空の定義を用いて、閉じた捕獲面が$\ mathscr{I}^+$から見えないという厳密な証明を確立できるか？
• RQ3 強い因果性は、定理に必要な因果構造を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 改訂されたWASE時空の定義は、一貫した宇宙的遮断定理の定式化を可能にするか？
• RQ5 この定理は、強い因果性ではなく、ただの歴史的順序条件を満たす時空へ一般化可能か？

主な発見

• ハーキングとエリスの元々の証明には、特に漸近的構造と因果性の取り扱いが不十分であるという欠陥があり、成立しない。
• 強い因果性および光線の適切な漸近的挙動を要請するより制限的なWASE時空の定義を用いて、是正され、厳密な証明が確立された。
• 主たる結果は、光の収束条件と弱い宇宙的遮断仮説の下で、閉じた捕獲面は$\ mathscr{I}^+$から見えない、すなわち因果的に未来の光的無限遠から隠されているということである。
• 証明は、閉じた捕獲面から出る光線が有限のアフィンパラメータ時間内に共役点を発生させることを示すことに依拠しており、これにより$\ mathscr{I}^+$に到達することは不可能になる。
• 矛盾は、捕獲面から$\ mathscr{I}^+$への時間的曲線の存在に起因するが、光線が共役点を持つ場合および時空が強く因果的である場合には、そのような曲線は存在できない。
• この結果は、WASE時空に閉じた捕獲面が存在するならば、ブラックホールの存在が必然であることを裏付け、宇宙的遮断仮説の物理的直観を支持する。