[論文レビュー] Blocking up D-branes : Matrix renormalization ?

K. Narayan|ArXiv.org|Nov 13, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、統計力学におけるブロックスピン技法を想起させる非可換D-brane幾何における隣接する行列座標の平均化によって、D-braneの『ブロッキングアップ』と呼ばれる行列の粗挙法を提案する。この手続きの下で、補正項行列を加えると、非可換平面、ファジー球面、トーラスが自己相似的挙動を示すことが示され、可換極限への物理的に意味のある、非混沌とした自己エネルギー流の存在を示唆する。

ABSTRACT

Drawing analogies with block spin techniques used to study continuum limits in critical phenomena, we attempt to block up D-branes by averaging over near neighbour elements of their (in general noncommuting) matrix coordinates, i.e.\ in a low energy description. We show that various D-brane (noncommutative) geometries arising in string theory appear to behave sensibly under blocking up, given certain key assumptions in particular involving gauge invariance. In particular, the (gauge-fixed) noncommutative plane, fuzzy sphere and torus exhibit a self-similar structure under blocking up, if some ``counterterm'' matrices are added to the resulting block-algebras. Applying these techniques to matrix representations of more general D-brane configurations, we find that blocking up averages over far-off-diagonal matrix elements and brings them in towards the diagonal, so that the matrices become ``less off-diagonal'' under this process. We describe heuristic scaling relations for the matrix elements under this process. Further, we show that blocking up does not appear to exhibit any ``chaotic'' behaviour, suggesting that there is sensible physics underlying such a matrix coarse-graining. We also discuss briefly interrelations of these ideas with B-fields and noncommutativity.

研究の動機と目的

• 統計場理論におけるブロックスピン変換に類似した、行列に基づく粗挙法手続きを開発し、D-brane配置に適用すること。
• 非可換D-brane幾何（非可換平面、ファジー球面、トーラスなど）がそのようなブロッキングの下で自己相似的挙動を示すかどうかを調査すること。
• 幾何的・力学的整合性を保つ物理的に意味のあるブロッキング手続きを定義する際のゲージ不変性の役割を調査すること。
• ブロッキングの下で、非対角成分がどのように平均化され、抑制されるかを調べ、非可換性の低減をもたらすこと。
• ブロッキングプロセスが混沌とした挙動を示すか、物理的に意味のある挙動を示すかを特定し、行列モデルにおける連続極限の存在可能性を検討すること。

提案手法

• D-brane座標行列の固有基底において、隣接する行列要素を平均化することでブロッキング手続きを定義し、D-brane位置の空間的順序を仮定する。
• 行列座標 $X^i$ にブロッキング変換を適用し、有効な低エネルギー自由度を表すブロック平均行列 $\tilde{X}^i$ を形成する。
• ファジー球面やトーラスのような非可換幾何で一貫性と自己相似性を回復させるために、ブロック代数に「補正項行列」を導入する。
• ゲージ不変な重み（例：$e^{-|\vec{x}_i - \vec{x}_j|^2}$）を用いた重み付き平均化により、ブロッキング手続きにおけるゲージ不変性を保証する。
• ブロッキングにおける行列要素のスケーリング関係を分析し、非対角成分の系統的縮小を示す。
• 時空ブロッキング（例：分離したD-brane中心を1つの中心に統合する）などの代替ブロッキングスキームと比較し、場の理論的・重力双対的視点の違いを明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロックスピン変換に類似した行列の粗挙法手続きを、非可換D-brane幾何に一貫して適用できるか？
• RQ2 非可換平面、ファジー球面、トーラスといった主要な非可換幾何が、ブロッキングアップの下で自己相似的挙動を示すか？
• RQ3 D-brane行列配置の物理的に意味のあるブロッキング手続きを定義する際、ゲージ不変性が果たす役割は何か？
• RQ4 非対角成分がブロッキングの下でどのように変化するか、そしてその抑制がスケーリング関係によって定量的に評価可能か？
• RQ5 ブロッキングプロセスは混沌とした挙動を示すか、安定した挙動を示すか？行列モデルにおける連続極限の存在に何を示唆するか？

主な発見

• 適切な補正項行列をブロック代数に加えると、非可換平面、ファジー球面、トーラスはブロッキングアップの下で自己相似的挙動を示す。
• ブロッキングアップにより、行列座標の非対角成分が減少し、行列が「より対角的」になり、可換極限へと向かう。
• 行列要素のスケーリング関係は、非対角成分の寄与が系統的に縮小することを示し、制御された自己エネルギー流の存在を示唆する。
• 行列不変量（例：$X^i$ のべき乗のトレース）は、ブロッキングの下でc関数のように振る舞い、粗挙法プロセスにおける単調性の可能性を示唆する。
• ブロッキング手続きは混沌とした挙動を示さず、行列モデルにおける明確で物理的に意味のある連続極限の存在を支持する。
• 代替ブロッキングスキーム（例：時空でD-brane中心を統合する）はゲージ対称性の強化と単一中心の超重力解をもたらし、ゲージ/重力双対性における二重の視点を強調する。