[論文レビュー] Bold Feynman diagrams and the Luttinger-Ward formalism via Gibbs measures. Part I: Perturbative approach

Lin Lin, Michael Lindsey|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2018

Theoretical and Computational Physics参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ギブス測度の枠組みにおいて、太字フェยnmン図とラッティンガー＝ワード形式主義の組合せ的基盤を確立し、厳密な図式的分解を通じて太字図式展開の有効性を証明する。これは、GW、DMFT、GF2 などの近似手法の中心的役割を果たす展開が、2PI（2粒子的非可縮）図から最大挿入分解を経て体系的に導出可能であることを示しており、広く用いられる多体物理学的手法に統一的かつ数学的に整合性のある基礎を提供する。

ABSTRACT

Many-body perturbation theory (MBPT) is widely used in quantum physics, chemistry, and materials science. At the heart of MBPT is the Feynman diagrammatic expansion, which is, simply speaking, an elegant way of organizing the combinatorially growing number of terms of a certain Taylor expansion. In particular, the construction of the `bold Feynman diagrammatic expansion' involves the partial resummation to infinite order of possibly divergent series of diagrams. This procedure demands investigation from both the combinatorial (perturbative) and the analytical (non-perturbative) viewpoints. In Part I of this two-part series, we illustrate how the combinatorial properties of Feynman diagrams in MBPT can be studied in the simplified setting of Gibbs measures (known as the Euclidean lattice field theory in the physics literature) and provide a self-contained explanation of Feynman diagrams in this setting. We prove the combinatorial validity of the bold diagrammatic expansion, with methods generalizable to several types of field theories and interactions. Our treatment simplifies the presentation and numerical study of known techniques in MBPT such as the self-consistent Hartree-Fock approximation (HF), the second-order Green's function approximation (GF2), and the GW approximation. The bold diagrams are closely related to the Luttinger-Ward (LW) formalism, which was proposed in 1960 but whose analytic properties have not been rigorously established. The analytical study of the LW formalism in the setting of Gibbs measures will be the topic of Part II.

研究の動機と目的

• ギブス測度の簡素化された設定において、多体摂動理論（MBPT）の自己完結的かつ数学的に厳密な取り扱いを提供すること。
• 最大挿入による2PI図への分解を証明することで、太字フェイマン図式展開の組合せ的妥当性を確立すること。
• さまざまな場の理論や相互作用へと形式主義を一般化し、既存のMBPT手法の解析および数値的実装を簡略化すること。
• 第II部においてラッティンガー＝ワード汎関数の解析的考察の土台を築くこと。長年の懸念事項であるその存在性と収束性を扱う。

提案手法

• フェルミオンのフォック空間をガウス測度に置き換え、多項式相互作用を用いることで、ギブス測度（ユークリッド格子場理論）を用いてMBPTを形式化する。
• 各太字図が、特定の半辺ペアに最大切断図を挿入することで、2PIスケルトン図から得られることを示す図式的分解を導入する。
• 各挿入 Γ(k) を単一の辺 {h₁(k), h₂(k)} に置き換えることで、スケルトン図 Γs を定義し、その構成上、Γs が2PIかつ1PIであることを保証する。
• 反復的コラプシングと挿入リフトの議論を用いて、非最大挿入が2PI構造と矛盾することを示し、分解の一意性を証明する。
• 組合せ論的技法を用いて、太字展開が、挿入が自己エネルギー寄与を表す部分的再結合化であることを証明する。
• GW、HF、GF2 などの既知の近似が、太字図の部分集合として導出可能であることを示し、それらの形式的整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 簡素化された場の理論設定において、組合せ論的手法を用いて太字フェイマン図式展開を厳密に正当化できるか？
• RQ2 2PI図と最大挿入分解の観点から、ラッティンガー＝ワード形式主義の背後にある正確な図式的構造は何か？
• RQ3 太字図における部分的再結合化手順は、図式的恒等式を用いて、裸の摂動理論から体系的に導出可能か？
• RQ4 この形式主義は、異なる種類の相互作用や場の理論へと一般化可能であり、展開の有効性を保ったままか？
• RQ5 太字図分解の一意性と整合性を保証する組合せ論的条件は何か？

主な発見

• 太字図式展開は組合せ論的に妥当である：すべての太字図は、2PIスケルトン図に最大切断図を挿入することで一意に得られる。
• 最大性と重複のない制約により、得られるスケルトン図は1PIかつ2PIであり、これ以上の挿入は不可能である。
• 分解は一意的である：最大挿入より大きな図を挿入しようとすると、スケルトンの2PI性質と矛盾する。
• 本手法は、GW、DMFT、GF2 などの広く用いられる近似を太字図の部分集合として体系的に導出する厳密な基礎を提供する。
• 本フレームワークは、さまざまな場の理論や相互作用へと一般化可能であり、摂動的および自己無撞着的手法の統一的取り扱いを可能にする。
• 本研究の結果は、図式的場の理論と関数解析の間の橋渡しを果たし、第II部におけるラッティンガー＝ワード汎関数の解析的考察の土台を築く。