[論文レビュー] Bootstrapping Empirical Processes of Cluster Functionals with Application to Extremograms

Holger Drees|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、従属的な極値時系列におけるクラスターファンクショナルの経験的過程に対して、乗数ブロックブートストラップ法を提案し、極値グラムの有効な推論を可能にする。DreesとRootzén（2010）と同程度の条件下で、ブートストラップは元の過程と同じ極限分布に弱収束する。これにより、既存の手法よりも有限標本性能が向上する信頼領域の構築が可能となる。

ABSTRACT

In the extreme value analysis of time series, not only the tail behavior is of interest, but also the serial dependence plays a crucial role. Drees and Rootzén (2010) established limit theorems for a general class of empirical processes of so-called cluster functionals which can be used to analyse various aspects of the extreme value behavior of mixing time series. However, usually the limit distribution is too complex to enable a direct construction of confidence regions. Therefore, we suggest a multiplier block bootstrap analog to the empirical processes of cluster functionals. It is shown that under virtually the same conditions as used by Drees and Rootzén (2010), conditionally on the data, the bootstrap processes converge to the same limit distribution. These general results are applied to construct confidence regions for the empirical extremogram introduced by Davis and Mikosch (2009). In a simulation study, the confidence intervals constructed by our multiplier block bootstrap approach compare favorably to the stationary bootstrap proposed by Davis et al.\ (2012).

研究の動機と目的

• 経験的過程の漸近的分布が直接的な推論に不適切である場合に、極値グラムの信頼領域を構築する課題に対処すること。
• DreesとRootzén（2010）の理論枠組みを拡張し、クラスターファンクショナルの経験的過程の弱収束特性を保つブートストラップ法を開発すること。
• 時系列における極値の自己相関を有する状況において、極値グラムの既存のブートストラップ手法に対する実用的で計算が容易な代替手法を提供すること。
• 極値グラムのパrameterに対する信頼区間の有限標本性能を、ステーショナリーブートストラップよりも向上させること。

提案手法

• データとは独立したi.i.d.のブートストラップ重みを用いた、クラスターファンクショナルの経験的過程のための乗数ブロックブートストラップを提案する。
• データの条件下で、ブートストラップ過程は $ Z_n^*(f) = \frac{1}{\sqrt{n v_n}} \sum_{j=1}^{m_n} \xi_j (f(Y_{n,j}) - \mathbb{E}[f(Y_{n,j})]) $ で定義され、$ \xi_j $ はi.i.d.の標準正規分布またはラダマッチャー変数である。
• 条件 (B1)、(B2)、(C1)–(C3)、(D1)–(D4)、および (D6) または (D6’) の下で、ブートストラップ過程が元の経験的過程と同じガウス極限分布に弱収束することを確立する。
• 特定の二変量極値的依存構造に適したクラスターファンクショナルの族を用いて、経験的極値グラム（自己極値的依存の非パラメトリック推定量）にブートストラップを適用する。
• 関数インデックス集合 $ \mathcal{F} $ の複雑さを制御するため、バケツ化エントロピーおよびメトリックエントロピー条件 (D4)–(D6) を用いる。これにより、漸近的緊密性と一様連続性が保証される。
• ブートストラップが、DreesとRootzén（2010）の元の弱収束結果と同一の条件下で漸近的に有効であることを示し、理論的信頼性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の仮定の下で、クラスターファンクショナルの経験的過程に対して、元の過程と同じ極限分布に弱収束する乗数ブロックブートストラップを構築できるか？
• RQ2 本稿で提案するブートストラップ法は、極値のクラスタリングを示す時系列における極値グラムの有効な信頼領域を提供できるか？
• RQ3 有限標本において、本稿のブートストラップ手法は、極値グラム推定におけるステーショナリーブートストラップと比較して、性能に優れているか？
• RQ4 ブートストラップ過程は、クラスターファンクショナルの経験的過程の漸近的分布的性質を、どのような条件下で保つことができるか？
• RQ5 極値的依存構造のパラメトリックモデル化を要件とせずに、ブートストラップを極値グラムに適用できるか？

主な発見

• 条件 (B1)、(B2)、(C1)–(C3)、(D1)–(D4)、および (D6) または (D6’) の下で、クラスターファンクショナルの経験的過程に対する乗数ブロックブートストラップは、データの条件下で、元の過程と同じガウス極限分布に弱収束する。
• 本手法は、経験的極値グラムの信頼領域を構築する上で漸近的に有効であり、パラメトリック推論の非パラメトリック代替手段を提供する。
• シミュレーションスタディにおいて、提案手法はステーショナリーブートストラップよりも精度が高く、被覆性の優れた信頼区間を生成する。
• 本手法は、標準的な正則変動および混合条件のみを要件としており、極値のクラスタリングを示す時系列に広く適用可能である。
• エントロピーの境界（D4）–(D6) といった理論的条件により、関数インデックス集合の複雑さが弱収束を妨げないことが保証される。
• すべての $ x \in E_\cup $ に対して $ F(x) = \sup_{f \in \mathcal{F}} |f(x)| $ が有限であるため、一様可積分性およびブートストラップの安定性が保証される。