[論文レビュー] Born--Oppenheimer decomposition for quantum fields on quantum spacetimes

Kristina Giesel, Johannes Tambornino+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 61被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、曲がった時空上の量子場理論（QFT on CS）を、背景に依存しない量子重力理論（例：ループ量子重力理論LQG）に埋め込むためのフレームワークとしてBorn–Oppenheimer分解（BOD）を提案する。BODがQFT on CSを半古典的極限として回復できるためには、重力ヒルベルト空間表現が特定の条件を満たす必要があるが、標準的なLQG表現ではその条件を満たさない。本稿では、その条件を満たす新しい重力代数と表現を導入し、一貫した半古典的埋め込みを可能にする。

ABSTRACT

Quantum Field Theory on Curved Spacetime (QFT on CS) is a well established theoretical framework which intuitively should be a an extremely effective description of the quantum nature of matter when propagating on a given background spacetime. If one wants to take care of backreaction effects, then a theory of quantum gravity is needed. It is now widely believed that such a theory should be formulated in a non-perturbative and therefore background independent fashion. Hence, it is a priori a puzzle how a background dependent QFT on CS should emerge as a semiclassical limit out of a background independent quantum gravity theory. In this article we point out that the Born-Oppenheimer decomposition (BOD) of the Hilbert space is ideally suited in order to establish such a link, provided that the Hilbert space representation of the gravitational field algebra satisfies an important condition. If the condition is satisfied, then the framework of QFT on CS can be, in a certain sense, embedded into a theory of quantum gravity. The unique representation of the holonomy-flux algebra underlying Loop Quantum Gravity (LQG) violates that condition. While it is conceivable that the condition on the representation can be relaxed, for convenience in this article we consider a new classical gravitational field algebra and a Hilbert space representation of its restriction to an algebraic graph for which the condition is satisfied. An important question that remains and for which we have only partial answers is how to construct eigenstates of the full gravity-matter Hamiltonian whose BOD is confined to a small neighbourhood of a physically interesting vacuum spacetime.

研究の動機と目的

• 背景依存のQFT on curved spacetimeが、背景に依存しない量子重力理論から半古典的極限としてどのように現れるかというパズルを解明すること。
• Born–Oppenheimer分解（BOD）がQFT on CSを一貫して埋め込むために、重力ヒルベルト空間表現に必要な条件を同定すること。
• 標準的なLQG表現が示す障害を回避するため、必要な条件を満たす新しい重力場代数とヒルベルト空間表現を構築すること。
• 物理的に意味のある古典的時空の周辺に局在するBODを持つ物理状態を構築するための基盤を築くこと。

提案手法

• ヒルベルト空間のBorn–Oppenheimer分解（BOD）を用いて、遅い重力自由度と速い物質自由度を分離する。
• BODがQFT on CSの一致した半古典的極限をもたらすために、重力ホロノミー・フラックス代数の表現に必要な条件を同定する。
• 必要な条件を満たす、代数的グラフ上での新しい古典的重力場代数とそのヒルベルト空間表現を導入する。
• 無限テンソル積（ITP）ヒルベルト空間を用いて、完全な量子重力状態空間を記述し、強い同値類を用いて可分な部分空間へ分解する。
• ITPヒルベルト空間内のベクトルの強い同値類と弱い同値類を用いて、非可分な全空間内に物理的に意味のある構造を定義する。
• 物質ハミルトニアンをBOD基底で分析することで、真空中心の古典的時空の周辺に局在する半古典的状態を特定するフレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、背景依存のQFT on curved spacetimeが、背景に依存しない量子重力理論から半古典的極限として出現するか？
• RQ2 なぜ標準的なループ量子重力理論（LQG）の表現では、QFT on CSを回復できる形でBorn–Oppenheimer分解が成立しないのか？
• RQ3 必要な条件を満たすように、修正された重力代数とそのヒルベルト空間表現を構築できるか？
• RQ4 全重力–物質ハミルトニアンの固有状態をどのように構成すれば、そのBODが物理的に興味深い古典的時空の近くに局在するようになるか？

主な発見

• ループ量子重力理論における標準的なAshtekar–Isham–Lewandowskiヒルベルト空間は、BODがQFT on curved spacetimeを半古典的極限として回復できるために必要な条件を満たさない。
• 必要な条件を満たす、代数的グラフ上での新しい古典的重力場代数とそのヒルベルト空間表現が構築された。
• 無限テンソル積ヒルベルト空間構造により、強い同値類を用いた可分な部分空間への分解が可能となり、量子重力における半古典的状態の自然なフレームワークが得られた。
• 重力表現が重要な条件を満たしている限り、物質場が固定された背景時空上で伝播する一貫した半古典的極限が実現可能である。
• 本研究により、QFT on CSがBODを介して量子重力に埋め込めることが示されたが、その前提となる表現条件が満たされている場合に限る。これにより、量子重力における物理的状態選択への道筋が示された。
• 本稿では、重要な未解決問題を特定した：物理的に興味深い真空中心の古典的時空の近くに局在するBODを持つ、全重力–物質ハミルトニアンの固有状態を構築する方法は、まだ完全には解明されていないが、部分的な答えが得られた。